|
|
|
}}}}
הטענה שבמשפט הזה היא כל סדרה מתכנסת היא חסומה, כלומר יש לה חסם עליון וחסם תחתון (ניתן להזכר בהגדרה של [[חשבון אינפיניסטימליאינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות|סדרה חסומה]]), בשלב זה הן המשפט והן ההוכחה אמורים להיות אינטואיטיביים למדי מבחינתך, ובכל זאת מומלץ לעבור על ההוכחה בעיון ולוודא שאכן הכל מובן. הרעיון המרכזי של ההוכחה הזו היא הגדרת <math>\ \varepsilon</math> שרירותי (במקרה הזה בחרנו ב-1, אך כל מספר אחר גדול מאפס היה טוב באותה מידה) וחלוקת הסדרה לשני חלקים - חלק ראשון מכיל את כל האיברים החל מהערך ה-<math>\ N</math>, כלומר האיבר שהחל ממנו כל אברי הסדרה נמצאים בסביבה <math>\ \varepsilon</math> של הגבול והחלק השני הוא כל האיברים שלפני האיבר הזה. ברור שהחלק הראשון חסום, שכן כל האיברים שבו נמצאים בטווח של לא יותר מ-<math>\ \varepsilon</math> מהגבול, באשר לחלק השני - כיוון שמדובר במספר סופי של איברים, אנחנו יכולים פשוט לבחור את האיברים הגדול ביותר והקטן ביותר מבינהם, ולאמר שכל שאר האיברים חסומים בינהם. כדי לחסום את כל הסדרה פשוט ניקח כמקסימום את <math>\ L + \varepsilon</math> או האיבר הגדול ביותר מבין החלק השני - הגדול מבינהם וכמינימום את <math>\ L - \varepsilon</math> או האיבר הקטן ביותר מבין החלק השני - הקטן מבינהם, כל אברי הסדרה חסומים בין שני מספרים אלו.
כעת אם נתבונן על סדרה שאלף איברים הראשונים הם ערכים אקראיים, והחל מהאיבר האלף ואחד כל האיברים הם 2, ונרצה לדעת האם הסדרה חסומה נוכל לומר על פי המשפט הקודם כי היא מתכנסת לאותו גבול כמו הסדרה <math>\ a_n = 2</math> ועל פי המשפט הראשון בעמוד הזה כי הסדרה <math>\ \left\{ a_n \right\}</math> מתכנסת ל-2. לכן כיוון שמדובר בסדרה מתכנסת היא בהכרח חסומה, בלי לתות בערכים של אלף הערכים הראשונים.
|
