אלגברה לינארית/דרגה של מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס==
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ויהיו שורות המטריצה <math>r_1,r_2,..,r_m</math>. נגדיר את <math>\operatorname{span}\left\{ r_1,r_2,..,r_m \right \}</math> להיות '''מרחב השורות''' של המטריצה A ונסמן <math>R(A)</math>. נסמן את המימד של מרחב זה להיות <math>r_R(A)</math> ונגיד שזהו '''דרגת השורות של A'''.{{ש}}
תהי <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז ניתן להגדיר את המושגים הבאים:{{ש}}
באופן דוגמה, נגדיר את מרחב העמודות להיות <math>\operatorname{span}\left\{ c_1,c_2,..,c_n \right \}</math> כאשר <math>c_1,c_2,...,c_n</math> עמודות המטריצה A ונסמן <math>C(A)</math>. נסמן את מימד מרחב העמודות בתור <math>r_C(A)</math> ונאמר שזה '''דרגת העמודות של A'''.{{ש}}
'''<u>מרחב השורות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י שורות המטריצה. כלומר, אם <math>R_1(A),R_2(A),...,R_m(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>R(A)=\operatorname{span}\left \{ R_1,R_2,...,R_m \right \}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\left \{vA | v \in \mathbb{F}^{1\times m} \right \}</math> או <math>\left \{ A^tv | v \in \mathbb{F}^m \right \}</math>
 
'''<u>מרחב העמודות של A</u>''' זהו המרחב הנפרש ע"י עמודות המטריצה. כלומר, אם <math>C_1(A),C_2(A),...,C_n(A)</math> שורות המטריצה A אז מרחב השורות הוא <math>C(A)=\operatorname{span}\left \{ C_1,C_2,...,C_n \right \}</math>. מתוך תכונת כפל מטריצות והעובדה ש- span זה בעצם כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים, אפשר לתאר את המרחב גם בצורה הבאה: <math>\left \{ Av | v \in \mathbb{F}^n \right \}</math>. נראה כי מימד מרחב העמודות הוא תמיד מספר המשתנים התלויים במערכת <math>Ax=0</math>.
 
'''<u>מרחב האפס</u>''' הוא מרחב כל הוקטורים שמאפסים את A. כלומר, <math>N(A)=\left \{v \in \mathbb{F}^n | Av=0 \right \}</math>. נראה כי מימד מרחב השורות הוא תמיד מספר המשתנים החופשיים במערכת <math>Ax=0</math>.
 
כידוע, תמיד מספר המשתנים התלויים + מספר המשתנים החופשיים = מספר העמודות ולכן מתקבל:{{ש}}
<math>\operatorname{dim} C(A) + \operatorname{dim} N(A)= n</math>{{ש}}
'''משפט:''' <math>\operatorname{dim} C(A)=\operatorname{dim} R(A)</math>{{ש}}
==דרגה==
 
דרגה של מטריצה היא מספר השורות שאינן 0 בצורה המדורגת קנונית שלה. נסמן <math>r(A)</math> או <math>rank(A)</math>. נראה כי: <math>r(A)=dim R(A)</math> כיוון שפעולת שורה לא משנה את מרחב השורות. לכן, <math>r(A)=dim R(A)= dim C(A) = n-dim N(A)</math>
 
נראה כי מטריצה ריבועית A הפיכה אם ורק אם <math>r(A)=n</math>
 
מתקיים: <math>r(AB) \leq \operatorname{min} \left\{ r(A),r(B) \right\}</math>
 
'''משפט:''' מימד מרחב השורות ומימד מרחב העמודות תמיד שווים.{{ש}}
תוצאה: ניתן להגדיר דרגה של מטריצה.
 
'''<u>הגדרה:</u>''' דרגה של מטריצה היא דרגת השורות שלה (או דרגת העמודות שלה). נסמן <math>r(A)</math> או <math>rank(A)</math>
 
[[קטגוריה: אלגברה לינארית]]