חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 27:
 
===קריטריונים להתכנסות במ"ש===
*תנאי הכרחי אך לא מספיק- פונקציה רציפה במ"ש הינה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש){{ש}}
*סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש. נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמה: <math>f(x)=x</math> רציף במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> אך <math>x\cdot x=x^2</math> לא.
*פונקציה היא '''לא''' רציפה במ"ש בקטע <math>I</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math> ו- <math>\left\{ y_n \right\}_{n=1}^\infty</math> כך ש- <math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math> אבל <math>|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow</math> {{ש}}
*תנאי הכרחי אך לא מספיק- פונקציה רציפה במ"ש בקטע '''סופי''' הינה חסומה שם.{{ש}}
*משפט קנטור- פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם.{{ש}}
*נניח f רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש g. אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש{{ש}}
*אם <math>f</math> רציפה במ"ש על הקטעים <math>(a,b],[b,c)</math> (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד <math>(a,c)</math>{{ש}}
*תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math>, כך שהגבול
::<math>\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L</math>
 
קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math>.
*מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע: תהי f פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע {{ש}}
*תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) - נגזרת חסומה: פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש.{{ש}}
*תנאי מספיק (אבל לא הכרחי)- מחזורית ורציפה: פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.
:שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:
 
::<math>f(x+p)=f(x)</math>