אלגברה לינארית/תמורה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 6:
===כתיב מחזורים וסימן===
כתיב של תמורה בדרך שהראנו קודם (בדוגמה: <math>\sigma(1)=2,\sigma(2)=1,\sigma(3)=3</math>) יכול להיות מאוד ארוך אם לא נמצא דרך אחרת לכתוב אותה. לכן, דרך אפשרית לכתוב תמורה זה בעזרת "מחזורים" (או "עגילים"). לדוגמה, ניקח את <math>\tau: S_4 \to S_4</math> כך ש- <math>\tau(1)=2, \tau(2)=4,\tau(3)=3,\tau(4)=1</math>. נסמן את התמורה הזאת באופן הבא: <math>(1,2,4)(3)</math> המחזור הראשון אומר ש-1 נשלח ל-2 (כי <math>\tau(1)=2</math>), אחריו מגיע 2 שנשלח ל-4 ואז 4 נשלח חזרה ל-1 המחזור השני אומר ש-3 נשלח לעצמו.{{ש}}
*מחזור בן איבר אחד (שאומר בעצם שאיבר מסויים נשלח לעצמו) לא נהוג לכתוב. בעצם התמורה <math>\tau</math> היינו אמורים לסמן <math>(1,2,4)</math> ואז כיוון שלא נראה פה 3 נוכל להסיק שהוא נשלח לעצמו פשוט. {{ש}}
*תמורה ששולחת כל איבר לעצמו חוץ משני איברים שאותם מחליפה ביניהם (לדוגמה התמורה הראשונה שעשינו בדף הזה, סיגמא, שולחת את כל האיברים לעצמם חוץ מאת 1 ואת 2 שהיא מחליפה ביניהם, זאת אומרת, 1 נשלח ל-2 ו-2 נשלח ל-1), נקראת "חילוף".{{ש}}
*כל תמורה היא הרכבה של חילופים (מדובר על הרכבת פונקציות). נשים לב שהתמורה <math>(i_1,i_2,...,i_n)</math> היא בעצם הרכבה של החילופים <math>(i_1,i_2)\circ (i_2,i_3) \circ ...\circ (i_{n-1},i_n)</math>.
מגדירים '''סימן''' של תמורה (ומסמנים <math>\operatorname{sign}(\sigma)</math>) להיות 1 אם התמורה מורכבת ע"י מספר זוגי של חילופים ו- 1- במקרה שהתמורה מורכבת ממספר אי זוגי של חילופים.{{ש}}
ניתן להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה מסויימת הוא רק מחזור אחד מאורך k אז <math>\operatorname{sign}(\sigma)=(-1)^{k+1}</math>
בנוסף, נראה כי אם <math>\sigma_1,\sigma_2</math> מחזורים זרים (כלומר, בצורה המחזורית של כל אחד מהם לא מופיע אף איבר משותף. <math>(1,3)</math> ו- <math>(2,4,5)</math> הם מחזורים זרים ב- <math>S_6</math>) אז <math> \operatorname{sign}(\sigma_1\circ\sigma_2)=\operatorname{sign}(\sigma_1)\cdot\operatorname{sign}(\sigma_2)</math> ולכן אפשר להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה הוא כמה מחזורים באורך <math>k_1,k_2,...,k_t</math> אז <math>\operatorname{sign}(\sigma)=(-1)^{k_1+1}\cdot(-1)^{k_2+1}\cdot ...\cdot (-1)^{k_t+1}</math>
==הגדרת הדטרמיננטה==
| |||