ויקיספר

פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/גרפים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
הערה: בפרק זה יש הרבה מושגים, יכול להיות שייקח קצת זמן עד שייקלטו לחלוטין יכול להיות שעדיף שלא להתעקב על דברים שלא מובנים עד הסוף ועם המשך הלימוד הם יתבארו
==הוצאת נתונים מגרפים==
שתי דרכים פופולריות בפיזיקה להצגת נתונים וקשרים בין משתנים הן גרפים ופונקציות, נסביר באמצעות דוגמה (הערה: המספרים בדוגמה הם לאילוסטרציה בלבד הם לא ממש סבירים):
גרף הנה אחת מהשיטות הנפוצות להצגת נתונים.<br>
ישנו מספר רב של סוגי גרפים, בכל אחד מהם נהוג להשתמש במקרים שונים ולהצגת נתונים מסוגים שונים.<br />
==== משתנה תלוי ובלתי תלוי====
בגרף מציירים נתונים בעזרת צירים. <br />
אחד הצירים הנו המשתנה התלוי והשני בלתי תלוי. <br />
המשתנה הבלתי תלוי הוא המשתנה אותו מכניסים לנוסחא, המשתנה אותו לא מודדים. <br />
המשתנה התלוי הוא המשתנה אותו מודדים. <br />
המשתנה התלוי הוא '''פונקציה''' של המשתנה הבלתי תלוי. <br />
לפני שרטוט כל גרף יש להחליט מי מהמשתנים הוא המשתנה התלוי ומי מהם הוא הלא-תלוי. שגיאה בבחירה זו תביא לגרף המשורטט בצורה לא תקנית.<br />
=== גרף קרטזי - גרף X-Y===
בגרף קרטזי המשתנה הבלתי תלוי מיוצג על ציר X והמשתנה התלוי נמדד על ציר Y. <br />
 
בכיתה מסוימת משתנה הטמפרטורה כתוצאה ממספר התלמידים הנוכחים כלומר החום עולה בכיתה ככל שיש יותר תלמידים המורה ערך חמישה בדיקות ובכל פעם רשם מה היה החום ומה היה מספר התלמידים בכתה באותו רגע
 
==טבלה==
 
אפשר להציג את תוצאות הבדיקה בטבלה כך שכל עמודה מתייחסת לבדיקה אחת.
צריך לכתוב בראש כל שורה מה היא מכילה ואת היחידות שבהם הנתונים מוצגים, במקרה שלנו בחרנו לסמן את מספר התלמידים ב n ובגלל שזה מספר פשוט אין לו יחידות, החום מסומן בT והיחידות שלו הם צלסיוס (C).
 
{| class="wikitable" cellpadding="5" align="center"
|+ תוצאות הבדיקה
! n
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5
|-
! T(c){{D}}
| 5.6 || 5.9 || 6.7 || 7.1 || 7.3
|}
 
==דיאגרמת פיזר==
 
אפשרות נוספת היא להציב את הנתונים במערכת צירים כך שכל נקודה תסמל בדיקה אחת, תרשים מסוג זה נקרא דיאגרמת פיזור.
נסתכל בגרף מהירות זמן של תנועה קצובה.
* במערכת צירים הציר המאוזן נקרא ציר X והציר המאונך נקרא ציר .Y
[[תמונה:Vvst.PNG]]
* כל נקודה שמוצבת במערכת צירים יש לה ערך X וערך Y ערכים אלו מסמנים את מיקום הנקודה במישור, ערכים אלו נכתבים כך (ערך ציר Y ;ערך ציר X) לדוגמה (5.6 ; 1).
<br />
* לרוב הנקודה בה הצירים חותכים זה את זה הערך שלה הוא (0 ; 0) ונקראת ראשית הצירים.
השטח מתחת לעקומת מהירות זמן הוא ההעתק! דבר זה נכון תמיד.
* צריך להגדיר כל ציר מה הוא מביע ואת היחידות שבהם הערכים מובעים חשוב לרשום זאת בראשית הציר.
<blockquote style="border:1px solid blue; padding:2em;">
* כשמשתנה A גורם למשתנה B להשתנות (במקרה שלנו מספר התלמידים גורם לשינוי בחום) אפשר לומר ש B הוא התלוי של A או בלשון אחרת B הוא פונקציה של A.
השטח מתחת לעקומת מהירות זמן הוא ההעתק</blockquote>
* המשתנה התלוי מוגדר בדרך כלל כציר המאונך (במקרה שלנו החום).
 
[[תמונה: תרשים פיזור.svg | 500px]]
===בכלליות===
את השטח נמצא ע"י מכפלה של מה שמיוצג ע"י הציר האנכי במה שמיוצג ע"י הציר האופקי. בציור לעיל, אלה v - המהירות ו- t - הזמן. את המכפלה עצמה נבצע על היחידות של הצירים, כלומר: (יחידת המדידה של הציר האופקי)*(יחידת המדידה של הציר האנכי). בדוגמא יהיה זה היחידות של v - מטר לשנייה <math>\left(\frac{m}{s}\right)</math> והיחידות של t - שניות (s). מכפל של שניהם אחד בשני נישאר עם המטר בלבד (m)- כלומר ההעתק.
 
==גרף==
השיפוע של הגרף מייצג את התאוצה. את השיפוע מוצאים ע"י שימוש בנוסחה <math>\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} </math> או בקיצור: <math>\frac{\Delta\ y}{\Delta\ x}</math>. גם פה אם נחלק את היחידות <math>\left(\frac{m}{s}\right)</math> ב- s ונקבל <math>\left(\frac{m}{s^2}\right)</math> שהן היחידות של תאוצה (יחידת מרחק חלקי זמן בריבוע).
 
גרף הוא תרשים כמו דיאגרמת פיזור חוץ מכך שהוא לא מציג נקודות אלא קו רציף.
במאמר מוסגר נציין, כי אם נבצע [[ויקיספר:קישור שעדיין לא קיים|אינטגרל]] לפי הזמן על המהירות נקבל את ההעתק. מכיוון שמשמעות האינטגרל במקרה זה הינה השטח שמתחת לגרף, הרי שנקבל את התוצאה הרשומה למעלה.
* הקו נקרא עקומה (גם אם הוא ישר) והעקומה עם הצירים נקרא גרף.
* גרף שהוא קו ישר נקרא לינארי.
* אם נתון לנו דיאגרמת פיזר ואנו רוצים להפכה לגרף נעביר קו כך שיעבור בצורה סבירה ליד הנקודות של הדיאגרמה (ברמה הזו סביר שידרשו מכם להפוך מנקודות לגרף רק גרף לינארי).
* הגרף בעצם קובע כלל, כלומר איך הקשר יפעל תמיד גם במקרים שלא מדדנו (בדוגמה שלנו הגרף מנבא מה יהיה החום בכיתה כשאין תלמידים).
* לפעמים חלק מניבויי הגרף הם חסרי משמעות לכן צריך להפעיל שכל ישר מה אפשר להוציא מהגרף ומה לא (לדוגמה אצלנו הגרף אומר מה יהיה החום עם הוספת חצי תלמיד דבר שכמובן לא הגיוני).
* לאחר ששרטטנו את הגרף מתעלמים מהנקודות המקוריות ומתייחסים רק לגרף.
* טיפ: כשמשרטטים את העקומה כדאי לשחק איתה כך שהיא תיפול על שתי מקומות שבהם הנקודות הם עם ערך עגול דבר זה יעזור בחישובים עתידיים.
* אם אנו רוצים קשר פשוט בין המשתנים העקומה צריכה להיות בצורה פשוטה: קו ישר פרבולה וכדו'
 
[[תמונה:גרף01.svg | 500px]]
{{פיזיקה תיכונית|מוגבל}}
 
[[קטגוריה:פיזיקה תיכונית|גרפים]]
==פונקציה מתמטית==
 
הענף המתמטי שעוסק בהצגת צורות גאומטריות כפונקציות מתמטיות נקרא [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית|הנדסה אנליטית]] (או גאומטריה אנליטית).
 
פונקציה משווה את הY לנוסחה מסוימת שהמשתנה בה הוא X כך שכל X שנבחר יש לו ערך Y מתאים לדוגמה הפונקציה שמתארת קו ישר כללי נראית כך: y=mx+b, כש-m ו-b הם קבועים כך שאם נקח לדוגמה דוגמה ספציפית של פונקציה זו: y=6x+2 ונציב x=3 הערך של הy יהיה y=6*3+2=20 כך שבנקודה -על הישר שמתואר בפונקציה- שבה הערך של הx הוא 3 ערך הy הוא 20 וכך אם נציב ערכים שונים של x נקבל בכל פעם ערך שונה של y כך שכל הנקודות שמתקבלות מהפונקציה הזו יוצרת ישר (הרי ישר מורכב מאינסוף נקודות).
 
כך שאם יש לנו גרף מסוים אפשר להביע אותו באמצעות פונקציה מתמטית.
* כאמור פונקציה לינארית (שמתארת קו ישר) נראית כך: y=mx+b כשה-m הוא קבוע שאומר מה השיפוע ו-b הוא קבוע שאומר היכן הקו חותך את ציר ה-y
* אפשר לסמן את העובדה שY תלוי בX כך y(x){{D}} או y=f(x){{D}}, לדוגמה: y(x)=6x+2, יש לשים לב שהסוגריים לא אומרים שיש לעשות כפל אלא הם מורים על תלות בין משתנים.
* יש פונקציות שמתארות צורות יותר מורכבות. לדוגמה הצורה הזאת (פרבולה):[[תמונה: גרףx^2.svg|200px]] מתוארת ע"י הפונקציה y=x^2. וזאת:[[תמונה: גרףx^3.svg|200px]] ע"י y=x^3
* אפשר לומר שגרף הוא הבעה גרפית של פונקציה.
 
==שיפועים ושטחים==
לפעמים יועיל לנו לדעת מה השיפוע של גרף בנקודה מסוימת או מהו השטח הכלוא תחת הגרף כיוון שלפעמים הם מייצגים גדלים פיזיקליים נוספים.
 
היחידות של הגודל הפיזיקלי שמובע באמצעות השיפוע מתקבל באמצעות חילוק יחידות ציר הY ביחידות ציר הX היחידות של הגודל הפיזיקלי המובע באמצעות השטח מתקבל מכפילות יחידות ציר הY ביחידות ציר הX
 
===שיפועים===
'''קו ישר (לינארי):'''
* בקו ישר השיפוע אחיד
* אם נתונה הפונקציה השיפוע ערך השיפוע הוא המקדם של הX
* אם לא נתונה הפונקציה אפשר למצוא את השיפוע באמצעות שתי נקודות ע"י שימוש בנוסחה <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math> לא חשוב איזה מהנקודות אני שם את הY ראשון אבל צריך להיות עקביים לשים גם את ערך הX שלה ראשון
:דוגמה יש לי שתי נקודות שנמצאות על ישר מסוים (10;2) (19;5) נציב בנוסחה ונקבל <math>m = \frac{10-19}{2-5} = 3</math> כלומר השיפוע שווה שלוש
* כשהשיפוע שווה אפס הפונקציה נקראת קבועה היא נראית כך y=b העקומה מקבילה לציר X
 
'''קו לא לינארי:'''
* השיפוע משתנה לאורך הגרף.
* אם אנו רוצים לדעת את השיפוע בנקודה מסוימת (A) יש לבחור נקודה נוספת (B) ולמצוא את השיפוע בין שתי הנקודות האלו (תמונה), ככל שהנקודה השנייה יותר קרובה לראשונה השיפוע יותר מדויק.
 
[[תמונה:שיפוע.svg|350px|left]]
 
* שיפוע מוגדר בעצם כשיפוע בין שתי נקודות כשהמרחק ביניהם שואף לאפס.
* אם ידוע לנו הפונקציה של הגרף אפשר להשתמש בנגזרת (להלן הסבר בשימוש בנגזרת).
 
'''נגזרת:'''
 
===שטחים===
'''קו ישר ו:'''
 
'''קו לא לינארי:'''
 
'''אינטגרל:'''
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/פיזיקה_תיכונית/מבוא_לפיזיקה/גרפים"