פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/גרפים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספת תבנית (אפשר גם תבנית "שקול לדלג" ) + קט' |
|||
שורה 74:
* אם אנו רוצים לדעת את השיפוע בנקודה מסוימת (A) יש לבחור נקודה נוספת (B) ולמצוא את השיפוע בין שתי הנקודות האלו (תמונה), ככל שהנקודה השנייה יותר קרובה לראשונה השיפוע יותר מדויק.
[[תמונה:שיפוע.svg|
* שיפוע מוגדר בעצם כשיפוע בין שתי נקודות כשהמרחק ביניהם שואף לאפס.
שורה 80:
'''נגזרת:'''
נגזרת של פונקציה אומרת מה השיפוע של הנקודות בפונקציה.
אנו גוזרים על פי הכללים הבאים:
* הנגזרת של מספר קבוע שווה לאפס הנגזרת של המשתנה X שווה לאחד הנגזרת של X^2 שווה ל 2X הנגזרת של X^3 שווה ל 3X^2
* הכלל הוא שהנגזרת של <math>x^n</math> שווה ל <math>n x^{n-1}</math>
* לא נוגעים במקדם של המשתנה, לדוגמה אם יש לי פונקציה כזאת <math>5x^3</math> הנגזרת תיראה כך <math>5 \cdot 3x^2</math>
* אנו גוזרים כל איבר בנפרד לדוגמה אם יש לנו פונקציה כזאת <math>4x^3 + x^2 + 7x + 8</math> הנגזרת תיראה כך <math>12x^2 + 2x + 7</math>
הערות:
* נגזרת של פונקציה יוצרת פונקציה חדשה שמסומנת <math>f'(x)</math>, לדוגמה אם הפונקציה המקורית נראתה כך <math>f(x) = 5x^2 + 3x + 7</math> לאחר שנגזור נקבל פונקציה חדשה שתראה כך <math>f'(x) =10x + 3</math>
* אם אני רוצה לציין את הפונקציה המקורית ואת הפונקציה של הנגזרת אפשר לסמן זאת כך <math>(f(x))' = f'(x)</math> לדוגמה <math>(4x^3)' = 12x^2</math>.
* הסימן <math>\ \frac{df}{dx}</math> אומר שגוזרים את הפונקציה f על בסיס x כלומר שהמשתנה של הפונקציה הוא x.
* על מנת למצוא את השיפוע בנקודה מסוימת יש להציב בפונקציה הגזורה <math>f'(x)</math> את ערך הx של הנקודה המבוקשת ולפתור אותה הפתרון הוא השיפוע לדוגמה אם יש לנו את הפונקציה הנגזרת <math>f'(x) = 15x^2</math> ואנו רוצים לדעת מה השיפוע בנקודה (40;2) נציב x=2 בפונקציה הגזורה ונקבל <math>f'(x) = 15(2)^2 = 60</math> כלומר השיפוע בנקודה זו שווה לשישים.
===שטחים===
'''
על מנת למצוא את השטח הכלוא תחת הגרף כשהגרף מורכב קווים ישרים יש למצוא איזה צורות גאומטריות אפשר לפרק את השטח ולפתור על פי הנוסחאות הגאומטריות המתאימות, לרוב השטח יהיה בצורה של משלוש מרובע או טרפז.
להלן כמה גרפים שיוצרים צורות גאומטריות פשוטות.
[[תמונה: שטח01.svg|200px]] [[תמונה: שטח02.svg|200px]] [[תמונה: שטח03.svg|200px]]
'''נוסחאות למציאת שטח:'''
* שטח מרובע = רוחב*אורך = רוחב כפול אורך.
* שטח משולש = בסיס*גובה\2 = בסיס כפול גובה חלקי שתים.
* שטח טרפז = (בסיס1+בסיס2)גובה\2 = סכום בסיסים כפול גובה חלקי שתים.
'''קו לא לינארי:'''
כשהקו הוא לא לינארי ולכן אין נוסחה גאומטרית פשוטה לחישוב השטח אפשר למצוא ערך מקורב לשטח ע"י חלוקת השטח למרובעים שווים ולחשב מה גדלו של מרובע יחיד ולנסות לאמוד כמה מרובעים יכולים להיכנס בשטח שלנו ולהכפיל את מספר המרובעים בערך של מרובע יחיד, כאמור שיטה זאת נותנת תוצאות מקורבות בלבד והיא גם מפרכת ישנה עוד שיטה למציאת שטח והיא אינטגרל.
'''אינטגרל:'''
פעולת האינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה לגזירה לדוגמה אם היה לנו פונקציה מקורית וגזרנו אותה אם נעשה אינטגרל לפונקציה הגזורה נקבל בחזרה את הפונקציה המקורית.
כללים האינטגרל:
* האינטגרל של מספר קבוע (a) הוא ax האינטגרל של x הוא <math>\frac{x^2}{2}</math> האינטגרל של x^2 הוא <math>\frac{x^3}{3}</math> האינטגרל של x^3 הוא <math>\frac{x^4}{4}</math> הכלל הוא שהאינטגרל של הפונקציה x^n שווה ל <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>
* גם פה לא נוגעים במקדם של המשתנה ועושים אינטגרל לכל איבר בנפרד כמו בנגזרת.
* למעשה אם בפונקציה המקורית היה מספר קבוע לאחר שגזרנו את הפונקציה האינטגרל לא יכול לשחזר את המספר ולכן מוסיפים בסוף האינטגרל C שמסמן את הקבוע האבוד בחישוב שטחים (מיד) המספר הזה לא משנה כי הוא מצטמצם
על מנת לחשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות <math>f_1(x)</math> ו <math>f_2(x)</math> כשהפונקציה <math>f_1(x)</math> היא העליונה ובתווכי האיקסים מ <math>x_1</math> עד <math>x_2</math> כש <math>x_1</math> הוא הגבול השמאלי,
נפעל בצעדים הבאים:
# נכתוב <math>\int_{x_1}^{x_2} (f_1(x)-f_2(x))\, dx</math> (הגבול השמאלי של הX כתוב למטה באס והגבול הימני למעלה הפונקציה העליונה כתובה ראשונה ומפחיתים ממנה את הפונקציה התחתונה).
# אם אפשר יש לצמצם את הפונקציות זאת בזאת.
# נוציא אינטגרל מהפונקציה המשולבת של שתי הפונקציות המקוריות ונכתוב <math> f |_{x_1}^{x_2}</math> כשf זה הפונקציה המשולבת לאחר שעשינו אינטגרל.
# נציב את שתי הX בפונקציה האינטגרלית כך <math>f(x_2) - f(x_1)</math> ההפרש שלהם שווה לשטח הכלוא בין הגרפים בתווך האיקסים האמור כלומר <math>f(x_2) - f(x_1) = s</math>.
[[תמונה: שטח04.svg|200px]]
הערה:
* כשאנו מחפשים את השטח בין עקומה לציר הX הפונקציה שמגדירה את ציר הX היא Y=0.
'''דוגמה:''' אנו רוצים לדעת מה השטח תחת הפונקציה <math>f(x) = 3X^2 + 5</math> לציר X בין X=3 עד לX=7.
*נכתוב:<math>\int_{3}^{7} (f(x) - 0)\, dx = \int_{3}^{7} (3x^2 + 5 - 0)\, dx</math>.
*נוציא אינטגרל: <math> X^3 + 5 x |_{3}^{7}</math>.
*נציב את האיקסים ונמצא את השטח (s){{כ}}: <math>s = (7)^3 + 5 (7) - ((3)^3 + 5 (3)) = {\color{blue}336}</math>
{{פיזיקה תיכונית|מוגבל}}
[[קטגוריה: פיזיקה תיכונית]]
| |||