פיזיקה תיכונית/מכניקה/התנע ושימורו: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
סידור והרחבה |
||
שורה 4:
-->
כמו שהגדרנו את האנרגיה כך אנו מגדירים עוד שתי גדלים מתקף ותנע גדלים אלו עוזרים בעיקר בבעיות התנגשות ופיצוץ.
== הגדרת התנע והמתקף ==
תנע המסומן p מוגדר על ידי <math>\vec p = m\vec v</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו-<math>v</math> היא מהירותו.<br />
מתקף המסומן J מוגדר
אם הכוח קבוע מתקיים: <math>\vec J = \int^{t_2}_{t_1} \vec F\, dt = \vec F(t_2 - t_1) = \vec F \Delta t</math>.{{כ}}<br />▼
ניתן להגדיר את המתקף גם כאינטגרל על הכוח השקול לפי הזמן, כלומר: <math>\vec J = \int^{t_2}_{t_1} \vec F\, dt</math>.<br />▼
▲אם הכוח קבוע מתקיים: <math>\vec J = \int^{t_2}_{t_1} \vec F\, dt = \vec F(t_2 - t_1) = \vec F \Delta t</math>.<br />
הוכחה: <math>\vec J = \int^{t_2}_{t_1} \vec F\, dt = \int^{t_2}_{t_1} m \vec a\, dt = m \int^{t_2}_{t_1} \vec a\, dt = m (\vec v_2 - \vec v_1) = \vec p_2 - \vec p_1</math>▼
▲ניתן להגדיר את המתקף גם
▲הוכחה: <math>\vec J = \int^{t_2}_{t_1} \vec F\, dt = \int^{t_2}_{t_1} m \vec a\, dt = m \int^{t_2}_{t_1} \vec a\, dt = m (\vec v_2 - \vec v_1) = \vec p_2 - \vec p_1 = \Delta \vec p</math>
* מתקף ותנע הם גדלים וקטורים.
* יחידות המתקף הן ניוטון שנייה <math>N \cdot s</math> ויחידות התנע הן ק"ג כפול מטר לשנייה <math>kg \frac{m}{s}</math> יחידות אלו שוות זו לזו <math>N \cdot s = kg \frac{m}{s^2} \cdot s = kg \frac{m}{s}= </math> .
* מתקף כולל שווה לסכום המתקפים הפועלים על הגוף באותו פרק זמן או המתקף שמפעיל הכוח השקול.
* התנע הכולל שווה לסכום (וקטורי) של התנעים ובצורה מתמטית: <math>p = p_1 + p_2 + p_3 ... + p_n</math>
== שימור תנע ==
* בדרך כלל את המהירות של הגופים לפני ההתנגשות (או הפיצוץ) אנו מסמנים ב-v ואת המהירות לאחר ההתנגשות מסמנים ב-u.
חוק שימור התנע קובע כי במערכת סגורה (כלומר מערכת שבה לא פועלים כוחות חיצוניים) התנע הכולל נשמר.
נוכיח את חוק שימור התנע בשני גופים: נקח לדוגמה שתי גופים 1 ו-2 אם הם מתנגשים אנו יודעים לפי החוק השלישי של ניוטון שהכוח שהפעיל 1 על 2 שווה והפוך מהכוח שהפעיל 2 על 1.
ובצורה מתמטית: <math>F_1 = -F_2</math>.{{כ}}<br />
נכפיל בזמן שבו ההתנגשות קרתה ונקבל את המתקף: <math>F_1 \Delta t= -F_2 \Delta t</math>.{{כ}}<br />
המתקף הרי שווה לשינוי בתנע ולכן: <math>\Delta p_1 = -\Delta p_2</math>.{{כ}}<br />
נפתח את המשוואה ונקבל: <math>m_1 u_1 - m_1 v_1 = -(m_2 u_2 - m_2 v_2)</math>.{{כ}}<br />
נסדר קצת: <math>m_1 u_1 - m_1 v_1 = m_2 v_2 - m_2 u_2</math>.{{כ}}<br />
נעביר אגפים: <math>m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2</math>.{{כ}}<br />
רואים שהתנע הכולל לפני ההתנגשות ואחריה שווה זה לזה כלומר התנע נשמר.
* חוק שימור התנע הוא חוק ווקטורי כלומר ווקטור התנע נשמר.
* התנגשות חד ממדית זוהי התנגשות שהגופים לפני ההתנגשות ולאחריה נעים על קו ישר אחד (התנגשות כזו נקראת גם התנגשות מצח), והתנגשות דו ממדית כשהגופים נעים על פני מישור אחד.
* בהתנגשות דו-ממדית נפרק את התנע לשתי צירים קרטזיים התנע נשמר בכל ציר ולכן ניצור שתי משוואות אלגבריות שמתארות כל ציר, ציר X:{{כ}} <math>mv_{1,x} + mv_{2,x} = mu{1,x} + mu{2,x}</math> ציר Y {{כ}}: <math>mv_{1,y} + mv_{2,y} = mu_{1,y} + mu_{2,y}</math>. יש לסמן את המהירות (אם היא חיובית או שלילית) ביחס למיקומה לציר שנקבע.
* בהתנגשות חד-ממדית מספיק ליצור רק משוואה אחת.
* התנע נשמר גם אם מדובר במערכת מרובת גופים ולא רק שתי גופים.
===דוגמה===
== סוגי התנגשויות ==
הפיזיקה מבחינה בין מספר סוגי התנגשויות.
*'''פלסטית''' - יש שימור תנע, אין שימור אנרגיה. שני הגופים המתנגשים מתחברים לגוף אחד, בתהליך זה נוצר חום, לכן אין שימור אנרגיה
*'''אלסטית''' - יש שימור תנע, יש שימור אנרגיה. הגופים ממשיכים לנוע בנפרד כשני גופים שונים לאחר ההתנגשות.
נפתח מבחינה מתמטית את ההתנגשות האלסטית: {{כ}}<br />
האנרגיה נשמרת ולכן: <math>\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2</math>.{{כ}}<br />
התנע נשמר ולכן: <math>m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2</math>.{{כ}}<br />
נסדר את משוואת התנע:<math>m_1(v_1 - u_1) = m_2(u_2 - v_2)</math>.{{כ}}<br />
נכפיל ב-2 ונסדר את משוואת האנרגיה: <math>m_1(v_1^2 - u_1^2) = m_2(u_2^2 - v_2^2)</math>.{{כ}}<br />
על פי השוויון <math>a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)</math> נפתח את משוואת האנרגיה: <math>m_1(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2(u_2 - v_2)(u_2 + v_2)</math>.{{כ}}<br />
נחלק את משוואת האנרגיה במשוואת התנע ונקבל: <math>(v_1 + u_1) = (u_2 + v_2)</math>.{{כ}}<br />
נסדר: <math>v_1 - v_2 = u_2 - u_1 = - (u_1 - u_2)</math>.{{כ}}<br />
הגודלים<math>v_1 - v_2</math> ו- <math>u_1 - u_2</math> הם בעצם המהירות היחסית ולכן מה שיוצא מהמשוואה לעיל זה שהמהירות היחסית בהתנגשות אלסטית מתהפכת אבל הגודל שלה נשמר מה שאומר שגודל מהירות ההתקרבות לפני ההתנגשות שווה לגודל ההתרחקות לאחריה.
* '''אי-אלסטית''' - יש שימור תנע, אין שימור אנרגיה, שני הגופים ממשיכים בנפרד אבל יש איבוד אנרגיה בגלל שינויים בגופים המתנגשים, טמפרטורה לדוגמה.
| |||