|
בשיעור הבא נתחיל לדון בפרדוקסים הללו.
==שיעור 4 - ו' אדר ב תשס"ה, 17 מרץ 2005==
בשיעור הקודם עסקנו בשני הפרדוקסים הראשונים של זנון. עתה נעסוק בשני הפרדוקסים הנוספים.
* הפרדוקס השלישי: כל נקודה במעופו של חץ היא סטטית, אם כך איך תנועה אפשרית בכלל?
* הפרדוקס הרביעי (פרדוקס האצטדיון) אינו ברור כמו שלושת קודמיו. הפרדוקס עוסק בשלוש קבוצות רצים אשר שתיים מהן נעות בכיוון מסוים והשלישית בכיוון אחר. שתי מדידות השונות אחת מהשנייה של המהירות נותנות תוצאות שונות.
הערה: זנון עצמו כנראה כתב רק ספר אחד ואנו יודעים בעיקר ממקורות אחרים כדוגמת אריסטו (אשר פוסל את הפרדוקסים). מטרתו בכתיבת הפרדוקסים איננה ברורה. יש הגורסים כי ניסה להגן על תפישה פילוסופית הקובעת כי הכל אחד.
בשיעור זה ובבא אחריו נעסוק בשלושת הבעיות הפתוחות של יוון ונבחון מספר בניות אשר היוונים ביצעו (לאו דווקא עם סרגל ומחוגה).
בספרו השני של אוקלידס הוא עוסק באלגברה גיאומטרית. אפשר לראות בפתח ספרו בטענות השונות טענות אלגבריות המנוסחות בשפה גיאומטרית. כיום ישנו ויכוח לגבי זווית ההסתכלות של היוונים עצמם. היו שחשבו שהיוונים הסתירו דברים מתוך אילוצי התחום – כתבו לא את אשר חשבו.
טענה 1 – היא למעשה חוק הפילוג
טענה 9 – חוק כפל מקוצר כלשהו
טענה 11 – מציאת <math>\varphi</math> כך ש-<math>\varphi ^2 = 1 - \varphi</math> (יחס הזהב)
בספר השלישי אוקלידס עוסק במושגים הנוגעים ליחס בין קווים למעגלים ובין מעגלים למעגלים.
טענות 6-5 – מעגלים החותכים זה את זה או משיקים זה לזה אם אינם בעלי אותו מרכז.
טענה 18 – מנקודה נתונה לצייר ישר המשיק למעגל נתון
היום אנו מכירים את הגיאומטריה האנליטית הלוקחת שאלות בגיאומטריה וממירות אותן בבעיות באלגברה. הפיתוחים הללו הם של דקארט (מהמאה ה-17). לעומת זאת, ניתוח בעיות אלגבריות בגיאומטריה נעשה כבר על ידי היוונים.
בספר הרביעי מראה אוקילדס בטענה 11 כי ניתן לבנות מחומש משוכלל בתוך עיגול.
אחד מההישגים הגדולים ביותר של היוונים עוסק בחתכי חרוט. אחד מהספרים של אוקלידס עסק בחתכי חרוט, אך זה לא שרד. עם זאת, שרד ספרו של אפולניוס בנושא זה. חתכי החרוט הם הצורות הנוצרות על ידי חיתוך של חרוט עם מישור. בשפה מודרנית היינו מדברים על משוואות המתארות את החתכים הללו. גם בעזרת עקומים אלו מצאו דרכים לפתרון הבעיה.
סיפור מודרני על אי-האפשרות לחלק זווית לשלושה חלקים שווים (או: על דקארט ורעיון הסימטריה של גלואה)
הרעיון של דקארט היה לבחור שני ישרים מאונכים כלשהם מתוך כל הישרים במישור. אנו מעניקים לכל נקודות במישור ערך מספרי.
אנו שואלים לאילו נקודות אפשר להגיע בעזרת בניות בסרגל ומחוגה. קל לראות שברגע שמצליחים לבנות משהו אפשר להזיז אותו לכל מקום אחר.
כמו-כן, מספיק לשאול לאילו נקודות על ציר ה-<math>X</math> ניתן להגיע. מדוע? בהינתן נקודה במישור אפשר לקבל את ערכיה על ידי "הטלה" על הצירים (שנעשית על ידי בנייה, כמובן).
הנחנו כי 0,1 כלולות. נזכיר כי אחת הטענות הראשונות בספרו הראשון של אוקלידס עוסקת בחיסור ושפה החדשה משמעות הדבר כי <math>x,y \in</math>אז גם <math>x - y \in \mathbb{F},x + y \in \mathbb{F}</math>. כמו-כן, ראינו כי בהינתן מלבן ניתן לבנות מלבן באותו שטח על קטע נתון. משמעות הדבר היא כי אם <math>x,y \in \mathbb{F}</math> אז <math>\frac{x}{y} \in \mathbb{F}</math> ו-<math>x \cdot y \in \mathbb{F}</math>.
| 