תולדות המתמטיקה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Amitayk (שיחה | תרומות)
הוספת שיעורים
Amitayk (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 152:
מתוך מציאת השורשים הריבועים ברור כי נוכל למצוא שורשים שהם חזקה של 2 (8,4,2,...). נשאלת השאלה האם נוכל לפתור בכלים של סרגל ומחוגה משוואה ממעלה שלישית?
 
נניח כי <math>\mathbb{F}</math> שדה סגור עם <math>\sqrt x</math> לכל <math>0 \leqslantle x \in \mathbb{F}</math>. נתבונן במישור <math>E = \mathbb{F}^2</math> עם הישרים שעוברים דרך 2 נקודות של <math>\mathbb{F}</math> והמעגלים שעוברים דרך 3 נקודות של <math>\mathbb{F}</math>.
 
<u>טענה</u>
שורה 190:
ובחזרה לבעייתנו, נסתכל על השדה <math>\mathbb{F}\left( i \right) = \left\{ {\left. {a + bi} \right|a,b \in \mathbb{F}} \right\}</math>. שדה זה איננו סדור.
טענה: לכל <math>a + ib \in \mathbb{F}\left( i \right)</math> יש שורש ריבועי ב-<math>\mathbb{F}\left( i \right)</math> [פותרים את הבעיה <math>\left( {x + iy} \right)^2 = a + ib</math> ורואים].
נשאל האם אפשר לבנות זווית של <math>\frac{{360^\circ }}{n}</math> עבור <math>n \in \mathbb{N}</math>? אם"ם <math>\exists \omega \in F\left( i \right) , \left( \omega ^n = 1 &\wedge \left( \omega ^n \ne 1 , 1 \le k < n \right) \begin{gathered}right)</math>
\omega ^n \ne 1 \hfill \\
1 \leqslant k < n \hfill \\
\end{gathered} \right)</math>
אם ניתן למצוא שליש של כל זווית, בפרט של <math>360^\circ</math>, כלומר <math>120^\circ</math> (זה אפשר) וגם <math>\frac{{360^\circ }}{9}</math> מכאן כי קיים שורש יחידה מדרגה 9 ב-<math>\mathbb{F}\left( i \right)</math>.
 
שורה 219 ⟵ 216:
 
<u>הוכחה</u>
נגדיר פונקציה <math>\alpha :\mathbb{Q}\left( {\sqrt 2 } \right) \to \mathbb{Q}\left( {\sqrt 2 } \right)</math> על ידי <math> \left( { a,b \in \mathbb{Q} } \right) & \alpha \left( { a + b \sqrt 2 } \right) = a + b \left( { - \sqrt 2 } \right) </math>. המבנה הגיאומטרי של הישר נשבר (אפילו נקודות מאוד קרובות ל-<math>\sqrt 2</math> לא עוברות).
 
<u>טענה</u>