תולדות המתמטיקה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 65:
==שיעור 2 - כ"ב אדר א תשס"ה, 3 מרץ 2005==
<b>האקסיומות של אוקלידס</b>
שורה 239:
<math>\sqrt 2</math>מקיים <math>x^2 - 2 = 0</math>, לכן <math>\alpha \left( {\sqrt 2 } \right) </math> מקיים <math>x^2 - 2 = 0</math>. מכאן כי <math>\left( {\alpha \left( {\sqrt 2 } \right)} \right)^2 + 2 = 0</math> אבל משמעות הדבר היא כי <math>\alpha \left( {\sqrt 2 } \right) = \pm 2</math>. האם אפשרי כי <math>\alpha</math> יהיה מסדר 3? בבירור לא.
==שיעור 6 - י"ג אדר ב תשס"ה, 24 מרץ 2005==
נשים לב כי אם אפשר למצוא שליש של זווית כלשהי אז אפשר למצוא תשיעית של זווית כלשהי, בפרט של <math>360^\circ</math>, כלומר: בניית זווית של <math>40^\circ</math>. משמעות הדבר היא שאפשר לבנות מצולע משוכלל עם תשע צלעות. באלגברה נשאל האם השורש הפרמיטיבי של 9 נמצא ב-<math>\mathbb{F}_{euclid}</math>.
<u>הוכחה</u><br>
התשובה לשאלת הכפלת הקובייה ושליש הזווית היא שלילית (ובעצם גם הפתרון לריבוע המעגל). נצטרך בשביל ההוכחה את מושג המימד מאלגברה ליניארית, רק הפעם בהסתכלות של שדה מעל שדה.
<u>טענה (כלל המכפלה)</u><br>
אם <math>L \le F \le K</math> אזי <math>\left[ {K:L} \right] = \left[ {K:F} \right]\left[ {F:L} \right]</math>
<u>דוגמה<br></u>
<math>\left[ {\mathbb{Q}\left( {\sqrt a } \right):\mathbb{Q}} \right] = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }\sqrt a \in \mathbb{Q} \\ 2, & \mbox{if }\sqrt a \notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.</math>
<u>משמעות הדוגמה</u><br>
מה קורה במקרה של <math>\sqrt[3]{2}</math>? המימד יוצא 3.<br>
מה קורה במקרה של <math>\pi</math>? לא נוכיח אבל <math>\left[ {\mathbb{Q}\left( \pi \right):\mathbb{Q}} \right] = \infty</math> (אי-אפשר להביע את <math>\pi ^n</math> בעזרת <math>\[
\left\{ {\left. {\pi ^i } \right|1 \le i \le n - 1} \right\}
\]</math>.
<u>דוגמה</u>
מהו <math>\left[ {\mathbb{Q}\left( \omega \right):\mathbb{Q}} \right]</math> כאשר <math>\omega</math> שורש פרמיטיבי <math>n</math>'-י של 1.
האם <math>1,\omega ,\omega ^2 , \ldots ,\omega ^{n - 1}</math> בסיס?
לא בהכרח. <math>1 + \omega + \ldots + \omega ^{n - 1} = 0</math>
נשאיר כתרגיל להוכיח כי <math>\left[ {\mathbb{Q}\left( {\sqrt[9]{1}} \right):\mathbb{Q}} \right] = 6</math>
<u>מסקנה</u><br>
אם <math>a \in \mathbb{F}_{euclid} \left( i \right)</math> <math>a \in \mathbb{F}_{euclid} \left( i \right)</math> עבור <math>n \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}</math> כלשהו.
<u>מסקנה</u><br>
אין פתרון בסרגל ומחוגה לשלושת הבעיות של ימי קדם.
אילו מצולעים משוכללים ניתן לבנות?
*<math>2^n</math> כן
*אם <math>p</math> ראשוני אי-זוגי <math>\[\left. {p^2 } \right|n
\]</math>, לא
*<math>p</math> ראשוני אי-זוגי <math>\left[ {\mathbb{Q}\left( \omega \right):\mathbb{Q}} \right] = p - 1</math>
מספרים על גאוס שביקש לצייר על קברו את המצולע המשוכלל עם 17 צלעות שבנה עם סרגל ומחוגה.
על אוקלידס ביקש חרוט וספירה על הקבר (כנראה שם כן עשו את זה, יש עדויות על קיומו של הקבר מאה שנה לאחר מותו של אוקלידס)
היפוקרטס (לא הרופא) הצליח לרבע כל מיני דברים, בעיקר ירחים (עיגול פחות החיתוך עם עיגול). אוקלידס גם כן ריבע ירח מסויים.
נשים לב כי משפט פיתוגרס לא מדבר בהכרח על ריבועים, אלא על כל צורה אחרת ששטחה פרופורציוני לריבוע הצלע.
<u>רעיון ההוכחה</u><br>
ממשפט פיתגורס, (חצי המעגל בקוטר <math>AB</math>) = (חצי המעגל בקוטר <math>AC</math>)+(חצי המעגל בקוטר <math>BC</math>).
אבל <math>AC = CB</math>, ולכן (חצי המעגל בקוטר <math>AB</math>) = פעמיים (חצי המעגל בקוטר <math>AC</math>).
מכאן, רבע המעגל בקוטר <math>AB</math>=חצי המעגל בקוטר <math>AC</math>.
אם נחסר מרבע המעגל בקוטר <math>AB</math> את החלק המשותף עם חצי המעגל בקוטר <math>AC</math>, נקבל את <math>\vartriangle ADC</math>, ואם נחסר מחצי המעגל בקוטר <math>AC</math> את אותו השטח, נקבל את הסהר. ולפי עקרון חיסור שווים משווים, הצלחנו לבנות ריבוע ששטחו פעמיים הסהר. כמעט כנדרש.
לא בטוח מתי דיופנטוס חי (הית' חושב שהוא יודע, אבל סנט אנדרוס לא מסכימים
איפטיה כתבה הערות על דיופנטוס, אז הוא לכל המאוחר ב-350 לספירה
<u>עקרון גלואה</u><br>
אם ניתן לבנות בניה גיאומטרית המביאה לנקודה <math>\left( {a,b} \right)</math> בצורה יחידה בהינתן נתונים <math>c,d, \ldots</math> אז <math>a</math> ו-<math>b</math> ניתנים לביטוי רציונלי (בנתונים) על ידי <math> + , - , \cdot ,:</math> בלבד.
<u>דוגמה</u><br>
חיתוך יש ומעגל – לא רציונלי ואכן דרוש <math>\sqrt {}</math>.
נתון מעגל ונקודה עליו.
בעיה: חיתוך המעגל וישר נתון דרך הנקודה הנתונה. על פי עקרון גלואה נקודת החיתוך היא רציונלית.
==רעיונות שונים לעבודה שנתנו במהלך הקורס==
* להשוות את ההגדרה של אוקלידס להגדרות המודרניות של המספרים הממשיים.
==קישורים חיצוניים==
*[http://www.ma.huji.ac.il/~ehud/MH/ אתר הקורס]
| |||