מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/מקבילית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 10:
 
==משפטים המתקיימים במקבילית==
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות|כל שתי זויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/במרובע בו כל זוג זווית נגדיות שוות הוא מקבילית|משפט הפוך: מרובע בו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/במקבילית כל זוג צלעות שוות זו לזו|כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/במרובע בו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית|מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה|אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית|מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית]]
# [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מרובעים/אם במרובע קיים זוג אחד של צלעות נגדיות, מקבילות ושוות הוא מקבילית|כל מרובע בעל זוג צלעות מקבילות שוות הוא מקבילית]]
 
===כל שתי זויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו===
[[תמונה:Parallelogram_angles.svg|thumb|צריך להוכיח שכל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו]]
'''נתונים''' -
 
[[קטגוריה:גיאומטריה אוקלידית לתיכון]]
1) <math>\ AB||CD</math>
 
2) <math>\ BC||DA</math>
 
'''צריך להוכיח''' -
 
1) <math>\ \angle A=\angle C</math>
 
2) <math>\ \angle B=\angle D</math>
 
 
'''הוכחה''' -
 
3) <math>\ \angle DAB+\angle ADC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
 
4) <math>\ \angle DAB+\angle ABC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
 
5) <math>\ \angle BCD+\angle ADC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
 
6) <math>\ \angle ABC=\angle ADC</math> (נובע מ3,4)
 
7) <math>\ \angle BCD=\angle DAB</math> (נובע מ3,5)
 
===משפט הפוך: מרובע בו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית===
[[תמונה:Parallelogram_angles_eq.svg|thumb|נתון מרובע ABCD בו כל שתי זוויות נגדיות שוות]]
'''נתונים''' -
 
1) <math>\ \angle ABC=\angle CDA</math>
 
2) <math>\ \angle BCD=\angle DAB</math>
 
 
'''הוכחה''' -
 
3) <math>\ \angle ABC+\angle ADC+\angle BCD+\angle DAB=360</math> (סכום זוויות במרובע)
 
4) <math>\ \angle ABC+\angle BCD=180 \iff 2\angle ABC+2\angle BCD=360</math> (לפי נתון 1,2 ב3)
 
5) <math>\ \angle ABC+\angle DAB=180 \iff 2\angle ABC+2\angle DAB=360</math> (לפי נתון 1,2 ב3)
 
6) <math>\ AB||CD</math> (מ4, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
 
7) <math>\ AD||BC</math> (מ5, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
 
8) מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית ע"פ ההגדרה. מ.ש.ל.
----
 
===כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו===
[[תמונה:Parallelogram CDA eq BAC.svg|thumb|את המשפט נוכיח בעזרת בניית עזר מ-A ל-C]]
'''נתונים''' -
 
1) <math>\ AB||CD</math>
 
2) <math>\ AD||BC</math>
 
3) <math>\ \angle ABC=\angle ADC</math> (נובע מהמשפט הראשון בעמוד זה)
 
 
'''הוכחה''' -
 
4) <math>\ \angle CAB=\angle ACD</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
 
5) <math>\ AC=AC</math> (שיוויון הינו [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]] - כל דבר שווה לעצמו)
 
6) <math>\ \Delta CDA\cong\Delta ABC</math> (מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.ז.צ)
 
7) <math>\ AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
 
8) <math>\ AB=CD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
 
===מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית===
[[תמונה:Parallelogram AB eq CD BC eq DA.svg|thumb|נתון מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות שוות]]
'''נתונים''' -
 
1) <math>\ AB=CD</math>
 
2) <math>\ AD=BC</math>
 
 
'''הוכחה''' -
 
3) <math>\ AC=AC</math> ([[רפלקסיביות]] השיוויון)
 
4) <math>\ \Delta CDA\cong\Delta ABC</math> (מ1,2,3 משפט חפיפה שלישי - צ.צ.צ)
 
5) <math>\ \angle BAC=\angle ACD</math> (זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
 
6) <math>\ \angle CAD=\angle BCA</math> (זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
 
7) <math>\ AB||CD</math> (נובע מ5, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
 
8) <math>\ AD||BC</math> (נובע מ6, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
 
----
 
===אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה===
'''נתונים''' -
[[תמונה:Parallelogram AB eq CD.svg|thumb]]
1) <math>\ AB||CD</math>
 
2) <math>\ AD||BC</math>
 
3) <math>\ AB=CD</math> (כתוצאה מהמשפט השלישי בעמוד זה)
 
 
'''הוכחה''' -
 
4) <math>\ \angle BAO=\angle OCD</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
 
5) <math>\ \angle ABO=\angle ODC</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
 
6) <math>\ \Delta CDO\cong\Delta ABO</math> (מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.צ.ז)
 
7) <math>\ AO=OC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
 
8) <math>\ BO=OD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
 
===מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית===
[[תמונה:Parallelogram diagonal AO eq CO BO eq DO.svg|thumb|האלכסונים חוצים זה את זה]]
'''נתונים''' -
 
1) <math>\ AO=OC</math>
 
2) <math>\ BO=OD</math>
 
 
'''הוכחה''' -
 
3) <math>\ \angle AOB=\angle COD</math> (זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
 
4) <math>\ \angle AOD=\angle COB</math> (זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
 
5) <math>\ \Delta COD\cong\Delta AOB</math> (מ1,2,3 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
 
6) <math>\ \Delta COB\cong\Delta AOD</math> (מ1,2,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
 
7)<math>\ AB=CD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
 
8)<math>\ AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
 
9) <math>\ ABCD</math> מקבילית (נובע מ7,8 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
 
----
 
===כל מרובע בעל זוג צלעות מקבילות שוות הוא מקבילית===
[[תמונה:Parallelogram AB eq CD.svg|thumb]]
'''נתונים''' - (ללא הגבלת הכלליות - ניתן לבחור את הזוג השני באותה מידה)
 
1) <math>\ AB=CD</math>
 
2) <math>\ AB||CD</math>
 
 
'''הוכחה''' -
 
3)<math>\ \angle BAC=\angle ACD</math> (זויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
 
4)<math>\ AC=AC</math> ([[רפלקסיביות]] השיוויון)
 
5) <math>\ \Delta CAB\cong\Delta ACD</math> (מ1,3,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
 
6)<math>\ AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
 
7) <math>\ ABCD</math> מקבילית (נובע מ1,6 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
 
[[קטגוריה:גיאומטריה]]