מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפט פיתגורס: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
שוחזר מעריכות של 87.69.231.76 (שיחה) לעריכה האחרונה של שמזן
אין תקציר עריכה
מ (שוחזר מעריכות של 87.69.231.76 (שיחה) לעריכה האחרונה של שמזן)
[[Image:Pythagoras proof.svg|שמאל|200px]]
''''''''טקסט מודגש''נה נה נה נה נה נה לאהוב אותך
נוסחאת משפט פיתגורס, במשולש ישר זוית בעל שני ניצבים a ו-b ויתר c:
ביתר בכל הכח לעודד מהנשמה ולשמוח להביט בך
<math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
ולהגיד לך שאני שלך
 
כוולם עכשיו ביחד וביתר משחקת בלי פחד
== הוכחת משפט פיתגורס ==
עוד גול מגיע וביציע יש חגיגה גדולה
 
וביתר משחקת כמו פעם מחזירה לקהל את הטעם
תארו לעצמכם ריבוע קטן בתוך ריבוע גדול. הריבוע הקטן מוטה כך שכל קודקודיו נוגעים בצלעות הריבוע הגדול. <br>
תשחקי בשבילי ותתני לי לאהוב אותך!!
(ראו תמונה בקישורים חיצוניים)<br />אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ-<math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת ערך היתר <math>c</math>. בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי <math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>.<br />
נה נה נה נה לאהוב אותך
נוכיח שהמשולשים החיצוניים שנוצרו חופפים:
לחן:השיר של קובי פרץ -כל הכח
ניקח את אחת מנק החיבור. אנו יודעים שהזוית האמצעית שווה לתשעים מעלות כי היא זוית של הריבוע הקטן.
<span style="color: ColorName;">יאללה בית"ר יאללה חיים בכפר</span>''''''
נסמן ב<math>\alpha</math> את הזוית מצד אחד של הזוית האמצעית. לאחר חישוב מהיר נגיע לכך שהזוית מהצד השני שווה <math>90 - \alpha</math><br />
<math>\beta = 180 - 90 - \alpha = 90 - \alpha</math>
נסתכל על המשולש שבתוכו נמצאת הזוית האחרונה שמצאנו, <math>90 - \alpha</math><br />
אנו יודעים שהזוית של הריבוע הגדול שווה תשעים מעלות, ובחישוב מהיר נוסף נגיע לכך שהזוית השלישית במשולש זה שווה <math>\alpha</math>.<br />
<math>\gamma = 180 - 90 - (90-\alpha) = \alpha</math>
אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).<br />ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיוון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).
 
נסמן במשולשים את הניצבים באותיות <math>a</math> ו-<math>b</math>, ואת צלע הריבוע הקטן בתור <math>c</math>. ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.<br /><br />
כעת, צלע הריבוע הגדול שווה <math>a+b</math> וצלע הריבוע הקטן היא <math>c</math>.<br />
נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:<br />שטח כל משולש <math>S1 = \left( \frac{ab}{2} \right)</math><br />
שטח הריבוע הגדול <math>S{2} = ( a + b )^2 = a^2 + 2 a b + b^2</math><br />
שטח הריבוע הקטן <math>S3 = c^2</math>
<br /><br />
נחבר את שטחי כל המשולשים: <math>4\cdot S1 = 4\left( \frac{ab}{2} \right) = 2ab</math><br />
ערך זה נמצא גם במשוואה של <math>S2</math>. <br />
<br />נחזור לשירטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:<br /><math>S4 = a^2 +2ab+b^2-2ab = a^2 +b^2</math>.
מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא <math>S3 = c^2</math>
<br />
לכן נשווה: <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. נוציא שורש ונקבל:<br /><math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
<br />מש"ל.
 
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Pythagorean theorem|שם ויקישיתוף=משפט פיתגורס|ויקיפדיה=משפט פיתגורס}}