מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
צריך לפצל לשלוש נושאים : |
|||
שורה 1:
{{עריכה|סיבה=עיצוב+שכתוב}}
{{תוכן עיניינים|
# [[/פונקציה מעריכית/]]
#[[/פונקצית e/]]
#[[/פונקציה מעריכית מורכבת/]]
}}
=תבנית=
# פונקציה מעריכית היא פונקציה מן הצורה: <math>\ y=a^x</math>, כלומר פונקצי שבחזקה יש נעלם, כאשר <math>\ a>0</math>. למשל
# קיימות גם פונקציה מעריכיות מורכבת עליהן גם נדון בפרק זה, כדוגמא : <math>y=2^x+5</math>.
# מקרה מיוחד וחשוב של הפונקציה המעריכית היא <math>\ y=e^x</math>, כלומר כאשר בסיס החזקה הוא <math>\ e</math>.
שורה 21 ⟵ 27:
המאפיינים החשובים של הפונקציה:
# פונקציה אי-שלילית, כלומר היא לעולם לא מקבלת ערכים שליליים.
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ההגדרה של הפונקציה הוא כל
# אסיפטוטה אופקית - הפונקציה אינה נחתכת אף פעם עם ציר ה-X (האסימפטוטה y=0), כיוון שפונקציה מעריכית, אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
שורה 28 ⟵ 34:
[[קובץ:Exp.svg|left|thumb|300px|הפונקציה <math>y=e^x</math>]]
{{שקול לדלג|סיבה=ערך זה יובן טוב יותר לאחר לימוד הנושא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|הוכחות - פונקציה מעריכית]]; יחודיות של הפונקציה <math>y=e^x</math>}}
הפונקציה <math>y=e^x</math> מכילה את הקבוע המספר הקבוע <math>e=~2.718</math>, בדיוק כמו שפאי (<math>\pi</math>) מייצג ערך קבוע.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
# הפונקציה חיובית לכל X.
# הפונקציה עולה לכל X.
# נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
# הפונקציה
# הישר y=0 הוא
=פונקציה מורכבת=
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]=
השוואת מכנה לאפס.
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה שבר]] - המכנה צריך להיות גדול מאפס
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש|שורש]] - החזקה צריכה להיות גדולה מאפס
===מכנה===
כאשר במכנה יש [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]], למשל, <math>e^x+a</math>, התוצאה היא, <math>x\ne \ln a</math>. למשל נניח שבמכנה רשום <math>e^{2x}-5e^x+4</math> נשווה את המכנה לאפס ונקבל <math>e^{2x}-5e^x+4 \ne 0</math>
נפתור באמצעות הצבה (לא חייבים) <math>e^x=x</math><br />
<math>
\begin{align}
&e^{2x}-5e^x+4\\
&x^2-5x+4 \ne 0\\
& (x-4)(x-1)\ne 0\\
&x\ne 1 & x \ne 4\\
\end{align}
</math>
נציב את e בחזרה ונקבל, <br />
<math>
\begin{align}
&e^x \ne 1 & e^x \ne 4\\
&x \ne ln1 & x \ne ln4\\
& x \ne 0 & x\ne ln4\\
\end{align}
</math>
===חזקה===
נניח נתון <math>y=\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{4}^x}</math> לכן <math>\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{4}^x} \ge 0</math>.
* נמצא בסיס משותף (2), <math>\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{2}^{2x}} \ge 0</math>
* נבטל את השורש, <math>\sqrt {2^{x^2}-2^{-2x}} \ge 0</math>
*<math>\sqrt {2^{x^2} \ge 2^{-2x}}</math>
* <math>x^2 \ge -2x</math>
* הפתרונות <math>x \ne -2 ; x \ne 0</math>
=חיתוך=
=חיתוך עם הצירים=
השוואת המשוואה לאפס.
=נקודת חיתוך בין שתי פונקציות=
הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|משוואה מעריכית]].
| |||