ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
צריך לפצל לשלוש נושאים :
פיצול ל-3 נושאים
שורה 1:
{{תוכן עניינים|
{{עריכה|סיבה=עיצוב+שכתוב}}
===נושאים===
# [[/פונקציה מעריכית/]] - <math>\ y=a^x</math>, כלומר פונקציה שבחזקה יש נעלם, כאשר <math>\ a>0</math>. למשל, <math>\ y=3^x</math>.
#[[/פונקצית e/]] <math>\ y=e^x</math>, כלומר כאשר בסיס החזקה יש [[מספר קבוע]] <math>\ e</math>
#[[/פונקציה מעריכית מורכבת/]] ( <math>\ y=a^x+b</math> למשל, <math>y=2^x+5</math>.)
 
===הצבת נקודה בפונקציה===
{{תוכן עיניינים|
# [[/פונקציה מעריכית/]]
#[[/פונקצית e/]]
#[[/פונקציה מעריכית מורכבת/]]
}}
 
=תבנית=
# פונקציה מעריכית היא פונקציה מן הצורה: <math>\ y=a^x</math>, כלומר פונקצי שבחזקה יש נעלם, כאשר <math>\ a>0</math>. למשל, <math>\ y=3^x</math>.
# קיימות גם פונקציה מעריכיות מורכבת עליהן גם נדון בפרק זה, כדוגמא : <math>y=2^x+5</math>.
# מקרה מיוחד וחשוב של הפונקציה המעריכית היא <math>\ y=e^x</math>, כלומר כאשר בסיס החזקה הוא <math>\ e</math>.
 
==הצבת נקודה בפונקציה ==
הצבת נקודה בפונקציה מתבצעת ע"פ הנוסחא : <math>\;f_a(x)</math>
 
נעזר בדוגמא ; הצבת הנקודה <math>x=3</math> בפונקציה<math>\; y=2^x</math> תרשם כך : <math>\;f_2(3)=8</math>
 
}}
=תיאור הפונקציה=
==פונקציה <math>y=a^x</math>==
ניתן לחלק את הפונקציות המעריכיות לשלושה סוגים עיקריים של פונקציות, לכן, חשוב לפני החקירה לבדוק את סוג הפונקציה :
# כאשר <math>\ a=1</math> הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] <math>\ y=1</math>.
# כאשר <math>\ a\ne1</math>:
#* אם <math>\ a>1</math> זוהי פונקציה עולה.
#* אם <math>\ 0<a<1</math> זוהי פונקציה יורדת.
 
המאפיינים החשובים של הפונקציה:
# פונקציה אי-שלילית, כלומר היא לעולם לא מקבלת ערכים שליליים.
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ההגדרה של הפונקציה הוא כל מספר ממשי, <math>\ x\in\mathbb R</math>.
# אסיפטוטה אופקית - הפונקציה אינה נחתכת אף פעם עם ציר ה-X (האסימפטוטה y=0), כיוון שפונקציה מעריכית, אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
 
==הפונקציה <math>y=e^x</math>==
[[קובץ:Exp.svg|left|thumb|300px|הפונקציה <math>y=e^x</math>]]
{{שקול לדלג|סיבה=ערך זה יובן טוב יותר לאחר לימוד הנושא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|הוכחות - פונקציה מעריכית]]; יחודיות של הפונקציה <math>y=e^x</math>}}
 
הפונקציה <math>y=e^x</math> מכילה את הקבוע המספר הקבוע <math>e=~2.718</math>, בדיוק כמו שפאי (<math>\pi</math>) מייצג ערך קבוע.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
# הפונקציה חיובית לכל X.
# הפונקציה עולה לכל X.
# נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
# הפונקציה (=הנגזרת) חותכת את ציר Y בנקודה (0,1) והיא יוצרת זווית של 45 מעלות עם ציר X.
# הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה כיוון שהפונקציה המערכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>
 
=פונקציה מורכבת=
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]=
השוואת מכנה לאפס. יש לקחת בחשבון ש[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]] תופיע ב
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה שבר]] - המכנה צריך להיות גדול מאפס
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש|שורש]] - החזקה צריכה להיות גדולה מאפס
 
===מכנה===
כאשר במכנה יש [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]], למשל, <math>e^x+a</math>, התוצאה היא, <math>x\ne \ln a</math>. למשל נניח שבמכנה רשום <math>e^{2x}-5e^x+4</math> נשווה את המכנה לאפס ונקבל <math>e^{2x}-5e^x+4 \ne 0</math>
 
נפתור באמצעות הצבה (לא חייבים) <math>e^x=x</math><br />
 
<math>
\begin{align}
&e^{2x}-5e^x+4\\
&x^2-5x+4 \ne 0\\
& (x-4)(x-1)\ne 0\\
&x\ne 1 & x \ne 4\\
\end{align}
</math>
 
נציב את e בחזרה ונקבל, <br />
 
<math>
\begin{align}
&e^x \ne 1 & e^x \ne 4\\
&x \ne ln1 & x \ne ln4\\
& x \ne 0 & x\ne ln4\\
\end{align}
</math>
 
===חזקה===
נניח נתון <math>y=\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{4}^x}</math> לכן <math>\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{4}^x} \ge 0</math>.
* נמצא בסיס משותף (2), <math>\sqrt {2^{x^2}-\frac{1}{2}^{2x}} \ge 0</math>
* נבטל את השורש, <math>\sqrt {2^{x^2}-2^{-2x}} \ge 0</math>
*<math>\sqrt {2^{x^2} \ge 2^{-2x}}</math>
* <math>x^2 \ge -2x</math>
* הפתרונות <math>x \ne -2 ; x \ne 0</math>
=חיתוך=
=חיתוך עם הצירים=
השוואת המשוואה לאפס.
=נקודת חיתוך בין שתי פונקציות=
הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|משוואה מעריכית]].
 
נזכיר את הכללים לבסיס משתנה :
# כאשר<math> a^{f(x)}>a^{g(x)} \xrightarrow{a>1} f(x)>g(x)</math>
# כאשר <math>a^{f(x)}>a^{g(x)} \xrightarrow{0<a<1} f(x)<g(x)</math>
 
=נקודות קיצון=
==נגזרות==
===הנגזרת של הפונקציה המעריכית===
<math>\ f(x)=a^x</math> היא <math>\ f'(x)=a^x \cdot \ln(a)</math>. להוכחה ולהבנת מושג ה-<math>\ \ln </math> [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]].
 
אם כן: נגזרת הפונקציה המעריכית היא <math>\ (a^x)'=a^x \cdot \ln(a)</math>. הגורם הראשון במכפלה הוא לעולם חיובי. סימנו של הגורם השני, לעומת זאת, תלוי ב-<math>\ a</math>:
# אם <math>\ a>1</math> אז הוא חיובי
# אם <math>\ 0<a<1</math> אז הוא שלילי.
# במקרה המיוחד בו <math>\ a=1</math> מתקיים <math>\ f'(x)=0</math>, מה שלא מפתיע - כי ראינו שעבור מקרה זה הפונקציה היא פונקציה קבועה.
 
===נגזרת של <math>y=e^x</math>===
הנוסחא : <math>e^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x)</math>
 
נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>\ f(x)=e^x</math> מתקיים <math> f'(x)=\ln(e) \cdot e^x=1 \cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1).
 
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
 
לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה <math>y=e^{x^2-4x}+5x</math> היא : <math>y'=e^{x^2-4x}\cdot(2x-4)+5</math>
 
===נגזרת של פונקציות מעריכיות מורכבות ===
הנוסחא : <math>\;\left(a^{g(x)}\right)'=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot \ln a</math>
 
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
 
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה|שיפוע המשיק : הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה]]==
 
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת פונקציה מעריכית|
תוכן=
<div style="text-align: center;">
שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0</math> כפול ערך הפונקציה!
</div>
.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=היחודיות של פונקציה <math>y=e^x</math>|
תוכן=
אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא : <math>y=2.718^x</math>, והנגזרת היא : <math>y'=2.718^x*1</math>, כלומר, נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
=נקודות פיתול=
מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-a אך לא ב-x, מתקיים ש'''הפונקציה תמיד עולה (אם <math>\ a>1</math>) או שהיא תמיד יורדת (אם <math>\ 0<a<1</math>)'''. כלומר, לפונקציה '''לא קיימות נקודות קיצון'''. גזירה שנייה תניב <math>\ f''(x)=a^x \cdot (\ln(a))^2</math>, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם '''לא קיימות נקודות פיתול'''.<br />
גם במקרה בו <math>\ a=1</math>, הנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים <math>\ f'(x)=0</math> וגם <math>\ f''(x)\ne0</math>, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו.
 
להוכחה על פי הגדרת הנגזרת : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
 
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסימפטוטות]]=
==פונקצית מעריכית==
==אסימפטוטה המקבילה לציר Y==
השוואת מכנה לאפס. המשוואה היא [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות|משוואה מעריכית]] ולכן, כאשר: <math>\ e^x=a</math>, התוצאה היא, <math>\; x = \ln a</math>. למשל, מכנה הפונקציה הוא: <math>\ e^x-3</math>.
נמצא את <math>\;x</math>
 
<div style="text-align: center;">
: <math>e^x=3\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\ln 3</math>
</div>
 
==אסימפטוטה המקבילה לציר X==
{{הארה|זכרו שחובה לרשום : <math>x \to \infty</math>}}
 
מקרה 1:
<math>\;x\to -\infty</math>, כלומר, <math>\;e^x=0</math> (הערך הכי נמוך במשוואה מעריכית הוא הערך הקרוב ביותר לאפס).
נציב <math>\; ^x=0</math> במשוואה, נפתח אותה ונקבל תשובה.
 
מקרה 2:
יש להציב <math>\;x\to \infty</math>, אולם, ניתן לחלק את כל האפשרויות לשלוש:
# '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-x בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
# '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר x-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#''' אסיפטוטה y היא ערך מקדמי ה-x הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
 
== קצב גידול ומהירות שאיפה ==
הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות כמו <math>\ x^2</math> או אחיותה <math>\ x^3, x^4, x^5</math> וכו'. לכן, נשים לב שפונקציה כמו <math>\ \frac{x^{10}}{e^x}</math> שואפת לאפס כש-<math>\ x</math> שואף לאינסוף. הסיבה לכך היא שהמכנה, כפי שאמרנו, גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן תוצאת המנה הולכת וקטנה ככל ש-<math>\ x</math> גדל.
 
===דוגמא ===
מי שואף מהר יותר <math>e^x</math> או <math>x^2+1</math>?
 
e^x נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-<math>x^2+1</math> כיוון ש-e הוא בערך שווה לשלוש, כאשר מעלים אותו במיליון הוא : <math>3^{1,000,000}</math> (שלוש*מיליון פעמים שלוש = אינסוף פעמים שלוש)
 
לעומת זאת, <math>1,000,000^{2}+1</math> , שואף לאט יותר, כיוון שהוא רק מיליון*מיליון = מיליון בריבוע.
 
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/חשבון_דיפרנציאלי/פונקציה_מעריכית"