חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
נתון כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math>, צריך להוכיח כי אם מתקיים גם <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M </math> אזי <math>\ L = M</math>{{ש}}
נניח בשלילה כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M </math>, כך ש <math>\ L \ne M</math>. ונניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ M > L</math> {{ש}}
נתון כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math> ולכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\ \varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים, נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>\ L</math>, כלומר אינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < L + \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
נתון גם כי <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = M</math> ולכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> , ובפרט עבור <math>\ \varepsilon = \frac{M-L}{2}</math> מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>\ M</math>, כלומר מקיימים <math>\ a_n > M - \frac{M-L}{2} = \frac{M+L}{2}</math>{{ש}}
וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < \frac{M+L}{2}</math>. לכן ההנחה שגויה, ו- <math>\ M = L</math>
משתמש אלמוני