מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
{| class="wikitable"
==רענון==
!פונקציה ריבועית או פרבולה.
בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : <math>y=ax^2+bx+c</math>, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :
|-
# '''כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - ''' מקדם ה-<math>X^2</math> שונה מאפס (<math>a\ne0</math>).
|
# '''כאשר הנוסחא מייצגת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פונקציה]] [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה]] -''' כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : <math>a=0</math>.
לאחר מכן, חקרנו כל אחת מ[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הפונקציות]] בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.<br />
בניגוד לפרק בו חקרנו '''משוואה''' ריבועית, בפרק זה נחקור '''רק פונקציה''' ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש<math>a\ne0</math>.
 
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
==תיאור הפונקציה==
|-
!
תבנית
|colspan="2"|
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
<math>y=ax^2+bx+c</math>
<math>a\ne0</math>]]
 
כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :
<math>y=ax^2+bx+c</math>
# קודקוד הפרבולה/מוקד.
 
# ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' - הישר המקביל לציר y ועובר דרך קודקוד הפרבולה כך שהוא מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
 
<gallery>
==תנאים==
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
# <math>a\ne 0</math> - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל חיובי שערכו חיובי כך הפרבולה עולה במעלה ציר y ולהפך. ככל שערך ה-C שלילי יותר, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר y.
Function x^2-bx.svg|'''כאשר b שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2+bx.svg|'''כאשר b חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="2"|
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>
 
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]==
פונקציה ריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל x.
 
|-
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך|נקודות חיתוך עם הצירים]]==
!rowspan="4"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
===מציאת נקודת חיתוך עם ציר X===
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה (a<0).
|-
# הצבה y=0.
|
# מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה (a<0). נניח הפרבולה היא <math>y=X^2+6X+9</math> היא פרבולה ישרה מפני שהמקדם של <math>X^2</math> הוא חיובי (אחד) ולכן a>0.
# הצבה y=0 בפונקציה <math>0=X^2+6X+9</math>
# מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות [[פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.במקרה שלנו נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math> ונקבל <math>x=-3</math>.
#שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
 
|-
===מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y===
|'''איזה סוג של נקודות חיתוך'''
# הצבה X=0.
|colspan="2"|
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
 
===ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים===
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :
 
====דוגמא====
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
 
בכדי '''למצוא את נקודות החיתוך''' עם ציר ה-X נשווה אותה לאפס. השלבים :
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math>
* פונקצית ציר איקס : <math>y=0</math>
*נשווה בין הפונקציות : <math>X^2+6X+9=0</math>
*נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math>
*נפתור : <math>x=-3</math>
 
בכדי לגלות '''איזה סוג של נקודות חיתוך''' יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=X^2+6X+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"|
 
# הצבה X=0.
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]==
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"|
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
|-
 
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]]
===סימונים===
|colspan="2"|
נזכיר כיצד מסמנים [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]].<br />
'''ההתבנית המשותפת :''' {X|התחום}.<br />
'''סוגי סוגרים :'''
# () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
# [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : <math>\ge</math> או <math>\le</math>)
# [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.
 
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]/קודקוד הפרבולה/מוקד==
===דרך א'===
כאשר הפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
====ערך הנקודה====
שיעור X של קודקוד הפרבולה : <math>X=\frac{-b}{2a}</math>.או הצבת y במוואת הפונקציה
<br /><br />
שיעור Y של קודקוד הפרבולה : <math>Y=c-\frac{b^2}{4a}</math> או הצבת x במוואת הפונקציה
 
קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
 
====סוג נקודת תחת====
# סימון על גרף מיקום.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="2"| אין
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
|colspan="2"|
כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה
 
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]==
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.
 
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]]==
שתי דרכים :
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
 
|-
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]==
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
אין.
|colspan="2"|אין
 
|-
==תיאור גרפי==
|}
===ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר===
|}
[[קובץ:Parabolas.JPG|מרכז|thumb|250px|ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.]]
 
===פרבולה + c===
[[קובץ:Parabolas + c.JPG|מרכז|thumb|250px|
# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y.
# כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.]]
 
===פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה===
פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:
# פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,<math>y=(ax\pm b)</math>
# פרבולות מהצורה : <math>ax^2+bx</math>
 
<gallery>
תמונה:Function x^2-(1 to 4)x.jpg|'''כאשר b שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
תמונה:Function x^2+(1 to 4)x.jpg|'''כאשר b חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
 
===פרבולה <math>y=(x-p)^2+k</math>===
* נקודת המינמום (p, k)
* K מעלה ומוריד את הפרבולה.
* p מזיז את הפרבולה ימין ושמאלה.
 
[[קטגוריה : מתמטיקהחשבון דיפרנציאלי לתיכון]]