מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
{| class="wikitable"
!פונקציה ריבועית או פרבולה.
|-
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
!
תבנית
|colspan="2"|
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
<math>y=ax^2+bx+c</math>
<math>a\ne0</math>]]
<math>y=ax^2+bx+c</math>
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' - הישר המקביל לציר y ועובר דרך קודקוד הפרבולה כך שהוא מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
<gallery>
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל חיובי שערכו חיובי כך הפרבולה עולה במעלה ציר y ולהפך. ככל שערך ה-C שלילי יותר, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר y.
Function x^2-bx.svg|'''כאשר b שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2+bx.svg|'''כאשר b חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="2"|
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
|-
!rowspan="4"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
|-
|
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה (a<0). נניח הפרבולה היא <math>y=X^2+6X+9</math> היא פרבולה ישרה מפני שהמקדם של <math>X^2</math> הוא חיובי (אחד) ולכן a>0.
# הצבה y=0 בפונקציה <math>0=X^2+6X+9</math>
# מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות [[פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.במקרה שלנו נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math> ונקבל <math>x=-3</math>.
#שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
|-
|'''איזה סוג של נקודות חיתוך'''
|colspan="2"|
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :
שורה 47 ⟵ 59:
====דוגמא====
בכדי לגלות '''איזה סוג של נקודות חיתוך''' יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :
שורה 62 ⟵ 66:
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=X^2+6X+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"|
# הצבה X=0.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"|
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
שורה 73 ⟵ 86:
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]]
|colspan="2"|
===דרך א'===
כאשר הפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
====ערך הנקודה====
שיעור X של קודקוד הפרבולה : <math>X=\frac{-b}{2a}</math>.או הצבת y במוואת הפונקציה
<br /><br />
שיעור Y של קודקוד הפרבולה : <math>Y=c-\frac{b^2}{4a}</math> או הצבת x במוואת הפונקציה
קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
====סוג נקודת תחת====
שורה 99 ⟵ 108:
# סימון על גרף מיקום.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="2"| אין
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
|colspan="2"|
כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה
שתי דרכים :
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
שורה 110 ⟵ 122:
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|colspan="2"|אין
|-
|}
|}
[[קטגוריה :
|