מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
!
תבנית
|colspan="25"|
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
<math>y=ax^2+bx+c</math>
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה''' -הוא הישרישר המקביל לציר <math>y</math> ועובר דרך קודקוד הפרבולה. כךישר שהואמנחה מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים.
# '''שני ענפים סימטריים''' - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטריםוסימטריים לישר הסימטריה של הפרבולה.
 
<gallery>
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math> גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל חיובי שערכו חיוביגדל כך הפרבולה עולה במעלה ציר <math>y</math>, ולהפך. ככל שערך ה-C שלילי<math>c</math> יותרקטן, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר <math>y</math>.
Function x^2-bx.svg|'''כאשר <math>b</math> שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2+bx.svg|'''כאשר <math>b</math> חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="24"|
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>
 
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
|-
|
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (<math>a>0</math>) או הפוכה (a<0). נניח הפרבולה היא <math>y=X^2+6X+9a</math> היא פרבולה ישרה מפני שהמקדם של <math>X^20</math> הוא חיובי (אחד) ולכן a>0.
# הצבה y=0 בפונקציה <math>y=0=X^2+6X+9</math> בפונקציה.
# מציאת ערכי X<math>x</math> עבורם <math>y=0</math> באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות|פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה]] כגון:([[מתמטיקה טרינום,תיכונית/אלגברה פירוקתיכונית/טכניקות לגורמיםאלגבריות ועוד.במקרהפשוטות/הטרינום|טרינום]], שלנו[[מתמטיקה נעזרתיכונית/אלגברה בנוסחאתתיכונית/טכניקות הכפלאלגבריות המקוצר <math>(x+3)^2=0<פשוטות/math>טכניקות ונקבלשל <math>x=-3<פישוט/math>פירוק לגורמים|פירוק לגורמים]] ועוד).
# שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
|
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
# המקדם של הפרבולה <math>y=x^2+6x+9</math> הוא <math>1*x^2</math>. מאחר ש-<math>1>0</math> הפרבולה ישרה <math>a>0</math>.
# נציב <math>y=0</math> בפונקציה <math>0=x^2+6x+9</math>
# נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל הקצר|נוסחת הכפל המקוצר]] <math>(x+3)^2=0</math>. נקבל <math>x=-3</math>. נקודת החיתוך עם ציר ה-<math>x</math> היא <math>(-3, 0)</math>
# [[File:X^2+6x+9.png|thumb|נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9]]
|-
|'''איזה סוג שלכמה נקודות חיתוך'''
|
|colspan="2"|
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-<math>x</math> פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>. בהתאם להסבר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת משוואה ממעלה שנייה]] כאשר:
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :
*# כאשר <math>\ \Delta>0</math> יש שתי נקודות חיתוך.
*# כאשר <math>\ \Delta=0</math> יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך.
על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה <math>y=0</math> במשוואת הפונקציה ולמצוא את <math>x</math>.
 
|נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> עם ציר ה-<math>x</math>:
בכדי לגלות '''מתי''' לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>.
* נמצא דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math>
 
שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?
 
====דוגמא====
 
בכדי לגלות '''איזה סוג של נקודות חיתוך''' יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math>
* נגלה את דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math>
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math>
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=Xx^2+6X6x+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה<math>x</math>.
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="25"|
# הצבה <math>x=0</math>.
 
# הצבה X=0.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר Y<math>y</math> - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר Y<math>y</math> - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=<math>2=0</math>.
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחוםנקודות שליליקיצון וחיובימקומיות|תחום שלילינקודת וחיוביהקיצון]]
|colspan="2"|
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# יצירת אי שיוויון על פי הדרישה :
#*'''תחום חיובי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
#* '''תחום שלילי -''' יצירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c<0</math>.
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
|-
| דרך א'
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]]
|
|colspan="2"|
# ערך הנקודה
===דרך א'===
כאשר#* הפרבולה היא מצורהשיעור <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> של קודקוד הפרבולה : <math>(x_c, c)x=\frac{-b}{2a}</math>.
#* שיעור <math>y</math> של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
====ערך הנקודה====
#*סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם <math>a</math>. כאשר:
שיעור X של קודקוד הפרבולה : <math>X=\frac{-b}{2a}</math>.או הצבת y במוואת הפונקציה
#** מנמום (<math>a>0</math>).
<br /><br />
#** מקסימום (<math>a<0</math>).
שיעור Y של קודקוד הפרבולה : <math>Y=c-\frac{b^2}{4a}</math> או הצבת x במוואת הפונקציה
|
 
# נציב במשוואה <math>x=\frac{-b}{2a}</math> את הנתונים של הפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math>
קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
# <math>x=\frac{-6}{2*1}=-3</math>
 
# נציב את ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math> ונקבל <math>(-3,0)</math>. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math>, יכול לגלות את ערך ה-<math>y</math> בקלות יתרה: <math>y=(x+3)^{2}+0 </math> ערך ה-<math>y</math> הוא <math>c=0</math>.
====סוג נקודת תחת====
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
# מינמום - a>0.
במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.
# מקסימום - a<0.
#
 
|-
===דרך ב'===
|דרך ב'
מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
|מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
# גזירה.
# גזירה על פי [[הדף מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/חזקה|חוקי גזירת חזקה]]
# מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
# מציאת ערך ה-<math>x</math> - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
# סימון על גרף מיקום.
# מציאת ערך ה-<math>y</math> - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-<math>x</math>.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
# זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם <math>a</math>.
|
# נבצע גזירה לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> על פי גללי גזירת חזקה. נקבל <math>y'=2x^{2-1}+6</math>.
# נשווה לאפס <math>0=2x+6</math> נקבל כי נקודת הקיצון היא <math>x=-3</math>.
# נציב את ערך ה-<math>x</math> בפונקציה ונקבל <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math>. נקודת הקיצון המתקבלת היא <math>(-3,0)</math>.
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="25"| אין
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומיתחום עלייהשלילי וירידהוחיובי|פונקציהתחום עולהשלילי או יורדתוחיובי]]
|colspan="25"|
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר <math>x</math>.
כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה
# שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.
 
# קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
שתי דרכים :
#* '''מעל ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
#* '''מתחת ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
# פתרית משוואה :
|-
#*פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math>.
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
|colspan="4"| על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.
 
|-
| פתירת משוואה
|colspan="3"|
#פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math>.
# פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|colspan="25"|אין
|-
|}