מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 8:
!
תבנית
|colspan="
[[קובץ:Parabola.svg|left|thumb|100px|
<math>y=ax^2+bx+c</math>
שורה 17:
הפונקציה מורכבת משלושה משתנים:
# '''קודקוד''' או '''מוקד''' ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]).
# '''ישר הסימטריה''' או '''ישר מנחה'''
# '''שני ענפים סימטריים''' - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה
<gallery>
Parabolas.JPG|ככל שערך המוחלט של המקדם <math>a</math>
Parabolas + c.JPG| ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל
Function x^2-bx.svg|'''כאשר <math>b</math> שלילי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין
Function x^2+bx.svg|'''כאשר <math>b</math> חיובי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.
</gallery>
|-
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="
<math>a\ne0</math> <small>כנלמד בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת פונקציה ריבועית]], פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית]] ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם <math>a</math>.</small>
הפונקציה הריבועית, כמו כל [[פולינום]], מוגדרת לכל <math>x</math>.
שורה 39:
|-
|
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה (<math>a>0</math>) או הפוכה (
# הצבה
# מציאת ערכי
# שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
# ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
|
# המקדם של הפרבולה <math>y=x^2+6x+9</math> הוא <math>1*x^2</math>. מאחר ש-<math>1>0</math> הפרבולה ישרה <math>a>0</math>.
# נציב <math>y=0</math> בפונקציה <math>0=x^2+6x+9</math>
# נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל הקצר|נוסחת הכפל המקוצר]] <math>(x+3)^2=0</math>. נקבל <math>x=-3</math>. נקודת החיתוך עם ציר ה-<math>x</math> היא <math>(-3, 0)</math>
# [[File:X^2+6x+9.png|thumb|נקודת החיתוך של הפונקציה x^2+6x+9]]
|-
|'''
|
[[קובץ:Quadratic equation discriminant.png|left|thumb|100px|דוגמא לשלושת המצבים]]
בכדי לגלות כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה עם ציר ה-<math>x</math> פתרנו את המשוואה <math>\Delta = b^2-4ac</math>. בהתאם להסבר ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית|חקירת משוואה ממעלה שנייה]] כאשר:
*כאשר <math>\ \Delta<0</math> אין נקודות חיתוך.
על פי רוב, נתבקש בסוף התרגיל לצייר את גרף הפונקציה ולכן נעדיף להציב במשוואה <math>y=0</math> במשוואת הפונקציה ולמצוא את <math>x</math>.
|נמצא כמה נקודות חיתוך יש לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> עם ציר ה-<math>x</math>:
* נמצא דלתא : <math>\Delta = 6^2-4*9</math>
* נפתח : <math>\Delta = 36-36</math>
* נצמצם : <math>\Delta = 36-36 = 0</math>
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="
# הצבה <math>x=0</math>.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר
#* אין חיתוך עם ציר
|-
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/
|-
| דרך א'
|
# ערך הנקודה
#* שיעור <math>y</math> של קודקוד הפרבולה - הצבת ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה. במקרה שהפרבולה היא מצורה <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math> קודקוד הפרבולה <math>(x_c, c)</math>
#*סוג נקודת קיצון נקבע על פי מקדם <math>a</math>. כאשר:
#** מנמום (<math>a>0</math>).
#** מקסימום (<math>a<0</math>).
|
# נציב במשוואה <math>x=\frac{-b}{2a}</math> את הנתונים של הפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math>
# <math>x=\frac{-6}{2*1}=-3</math>
# נציב את ערך ה-<math>x</math> במשוואת הפונקציה <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math> ונקבל <math>(-3,0)</math>. מאחר שניתן לייצג את הפרבולה שלנו באמצעות <math>y=(x\pm b)^{2}+c </math>, יכול לגלות את ערך ה-<math>y</math> בקלות יתרה: <math>y=(x+3)^{2}+0 </math> ערך ה-<math>y</math> הוא <math>c=0</math>.
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
במקרה זה נקודת הקיצון של הפונקציה היא גם נקודת החיתוך של הפונקציה.
#
|-
|דרך ב'
|מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
# גזירה על פי [[הדף מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/חזקה|חוקי גזירת חזקה]]
# מציאת ערך ה-<math>x</math> - נשווה לאפס ונמצא נקודות קיצון.
# מציאת ערך ה-<math>y</math> - נציב במשוואת הפונקציה את ערך ה-<math>x</math>.
# זיהוי סוג הנקודה על פי מקדם <math>a</math>.
|
# נבצע גזירה לפונקציה <math>y=x^2+6x+9</math> על פי גללי גזירת חזקה. נקבל <math>y'=2x^{2-1}+6</math>.
# נשווה לאפס <math>0=2x+6</math> נקבל כי נקודת הקיצון היא <math>x=-3</math>.
# נציב את ערך ה-<math>x</math> בפונקציה ונקבל <math>y=(-3)^2+6*-3+9</math>. נקודת הקיצון המתקבלת היא <math>(-3,0)</math>.
# מקדם ה-<math>x</math> הוא חיובי (<math>1*x</math>) הפונקציה היא ישרה (<math>a>0</math>) ולכן נקודת הקיצון של הפונקציה היא נקודת מינמום.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/
|colspan="
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר <math>x</math>.
# שרטוט צירים, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון והפרבולה.
# קביעת תחומי עליה וירידה בהתאם לשרטוט של הגרף - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
#* '''מעל ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר <math>x</math> -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
|-
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
|colspan="4"| על פי קודקוד הפרבולה, בהתאם לשרטוט.
|-
| פתירת משוואה
|colspan="3"|
#פרבולה ישרה - יורדת כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math>.
# פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>x>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>x<\frac{-b}{2a}</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|colspan="
|-
|}
| |||