מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

{{עריכה|סיבה=יש לפצל את הנושאים, תרגול, הרחבת הגדרת הפונקציה}}
 
==מהי פונקציה?==
פונקציה מבטאת את היחס שיש בין שני איברים, בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>.
פונקציה מבטאת את היחס שיש בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. למשל: <math>\ y = x+2 </math> הינה פונקציה שהקשר <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math> הוא ש-<math>\ y </math> גדול מ-<math>\ x </math> ב-<math>\ 2 </math> . היחס של פונקציה יכול לייצג קשר אמיתי בין שני נתונים, למשל הקשר בין מרחק שעבר רכב לבין הזמן שחלף מתחילת הנסיעה. לא כל יחס בין X ל-<math>\ y </math> יקרא פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
 
* דוגמה: הפונקציה <math>\ y = x+2 </math> מציגה את הקשר בין <math>\ x </math> ל-<math>\ y </math>, לפיו -<math>\ y </math> גדול מ-<math>\ x </math> ב-<math>\ 2 </math>.
===כלל ההתאמה===
לכל פונקציה יש כלל התאמה (יחס בין שני איברים). כלומר לכל פונקציה יש חוקיות, "תבנית" מסוימת שאם נציב בה ערכים, הן יתקיימו.
 
כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן '''פונקציות ממשיות''', פונקציות המייצגות יחס בין [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים|מספרים ממשיים]] בלבד.
דרך ההצגה היא באמצעות משוואה. מצד שמאל של המשוואה כתוב סימון הפונקציה, ובצד ימין כתוב כלל ההתאמה. למשל:
 
==כלל ההתאמה==
הפונקציה מציגה את כלל התאמה לפיו מתקיים היחס בין שני איברים. ניתן לייצג פונקציה במספר דרכים.
 
===פונקציה פשוטה===
דרך ההצגה לפונקציה פשוטה היא באמצעות משוואה <math>\ y= f \left( x \right) </math>. מצד שמאל של המשוואה כתוב סימון הפונקציה, ובצד ימין כתוב כלל ההתאמה. למשל:
*<math>\ y=2x</math>
 
בצורת סימון זו נהוג לחשוב על <math>\ y </math> כעל משתנה כמו <math>\ x </math>, אך להבדיל מ-x, ערכו של <math>\ y </math> לא נבחר בצורה שרירותית, אלא הוא תלוי בערכו של <math>\ x </math>. מסיבה זו נהוג לכנות את x '''המשתנה הבלתי תלוי''' ואת <math>\ y </math> '''המשתנה התלוי'''.
 
===פונקציה מורכבת===
שיטת הצגה נוספת, מודרנית יותר, לפונקציות היא:
בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום <math>\ y </math> את האות <math>\ f </math> (קיצור למילה "פונקציה באנגלית - function). ההופעה של <math>\ x </math> בסוגריים פירושה שהפונקציה <math>\ f </math> פועלת על המשתנה <math>\ x </math>.
 
*<math>\ f(x)=2x</math>
 
ניתן להחליף את <math>\ f </math> בכל אות שרוצים. בדרך כלל נעזרים באותיות <math>\ g </math> ו-<math>\ h </math>
כאן הפונקציה מסומנת על ידי האות f, וההופעה של x בסוגריים פירושה שהפונקציה f פועלת על המשתנה <math>\ x </math>.
 
דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: <math>\ f_1(x), f_2(x), f_3(x) </math>. למספר המוקטן קוראים '''"האינדקס של f".'''
===הגדרת הפונקציה ===
הגדרת הפונקציה: עבור כל ערך של <math>\ x </math> קיים ערך <math>\ y </math> אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. במילים אחרות, לא יהיו שתי הגדרות של <math>\ y </math> שונות בערכן עבור אותו <math>\ x </math>.
 
==תחום וטווח של פונקציה ==
* כל הפונקציות שבהן נעסוק בספר זה הן '''פונקציות ממשיות''', פונקציות שמקבלות [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים|מספרים ממשיים]] ומחזירות מספרים ממשיים.
[[קובץ:Function color example 3.svg|250px|ממוזער|ימין|פונקציה המתאימה לכל צורה את הצבע שלה]]
 
בחלק הראשון של פרק זה דנו על הרעיון והצגת הרעיון של הפונקציה. בחלק זה נגדיר מה היא פונקציה. עבור כל פונקציה ישנן שתי קבוצות של מספרים :
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית של פונקציה]] - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.
# ה'''תחום''' (מבוטא באמצעות x) - קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל.
# ה'''טווח''' (מבוטא באמצעות y - קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.
 
לא כל יחס בין <math>\ x </math> ל-<math>\ y </math> מייצג פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
==מקור וטווח==
עבור כל פונקציה ישנן שתי קבוצות של מספרים ממשיים הקשורות אליה: ה'''תחום''' וה'''טווח''' של הפונקציה. התחום של הפונקציה הוא קבוצת המספרים שהפונקציה יכולה לקבל. הטווח של הפונקציה הוא קבוצה שמכילה את המספרים שהפונקציה יכולה להחזיר.
 
'''הגדרת הפונקציה:''' בהינתן קבוצת מספרים, '''פונקציה''' היא כלל (תנאי) שמתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח. במילים אחרות, עבור כל ערך של <math>\ x </math> (תחום) קיים ערך <math>\ y </math> (טווח) אחד ויחיד בלבד אותו הפונקציה מחזירה. כלומר לא יהיו שני ערכי <math>\ y </math> עבור אותו <math>\ x </math>.
בעזרת מושגי התחום והטווח ניתן להגדיר פונקציה בצורה מדוייקת:
 
==נקודה על הפונקציה==
'''הגדרה:''' בהינתן קבוצות עבור התחום והטווח, '''פונקציה''' היא כלל המתאים לכל איבר בקבוצת התחום איבר אחד ויחיד מקבוצת הטווח.
כאמור הפונקציה מייצגת קשר בין שני גורמים. כל נקודה על הפונקציה חייבת לקיים את כלל התאמה של הפונקציה. במילים אחרות, אם חוקר אוסף נתונים הקושרים בין שני גורמים (למשל הקשר בין מרחק נסיעה למשך הנסיעה) הוא יכול לנבא שני נתונים:
# '''מציאת ערכי הנקודה -''' החוקר יכול לנבא את ערכי ה- <math>\ y </math> (או <math>\ x </math> ) עבור <math>\ x </math> באמצעות הפונקציה על ידי הצבת הערך בה.
# '''האם הנקודה נמצאת על הפונקציה -''' הצבת ערכי ה- <math>\ y </math> וה-<math>\ x </math> במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : <math>\ 0=0 </math>.
 
יתרה מזאת, כל פונקציה ניתנת לייצוג באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית]], כך שעבודתו של החוקר הופכת לקלה הרבה יותר.
==מתי אין פונקציה?==
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|על פי הגדרת הפונקציה]] , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.
 
====הצבת נקודה בפונקציה====
[[קובץ:Naofuncao1.png|מרכז|thumb|250px| ל-<math>X_3</math> יש שתי טווחים/תמונות ולכן ההתאמה המתוארת אינה התאמה של פונקציה.]]
{{דוגמה|
שם=הערכים העונים על פונקציה|
מספר=1|
תוכן=נדגים את הפשוטות בה ניתן לבדוק האם שני הערכים <math>(2,4)A</math> ו- <math>(2,10)B </math> מקיימים את הפונקציה <math>y=x+2</math>.
# הצבת ערכי הנקודה <math>A</math> בפונקציה נותן את המשוואה <math>4=2+2</math>. מכאן שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
# הצבת ערכי <math>B</math> בפונקציה נותן את המשוואה <math>10=2+2</math>. מכאן שהמשוואה היא פסוק שקר. B אינו עונה על תנאי הפונקציה.
}}
 
{{דוגמה|
בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).
שם=מציאת ערכי הנקודה|
מספר=2|
תוכן= הנקודה <math>C (x,2) </math> נמצאת על הפונקציה <math>y=x+2</math>. נדגים כיצד ניתן למצוא את ערך ה-<math>x</math> שלה באמצעות הצבת במשוואה.
ערך ה-<math>y</math> של הנקודה <math>C</math> שווה שתיים. מאחר ש-<math>C</math> מקיימת את משוואת הפונקציה <math>y=x+2</math> נוכל להציב <math>y=2</math> ולגלות את ערך ה-<math>x</math>.
#נציב בפונקציה ונקבל את הערכים <math>2=x+2</math>.
# [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|נסדר אגפים]] ונמצא כי<math>x_c=0</math>.
# ערך ה-<math>x_c </math> המקיים את משוואת הפונקציה הוא <math>C (0,2) </math>
 
}}
==נקודה על הפונקציה==
כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :
# '''האם הנקודה נמצאת על הפונקציה -''' הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
# '''מציאת ערכי הנקודה -''' אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.
 
==מטרת הספר==
===דוגמא===
בפרקים הבאים נלמד על [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/סוגים של פונקציות|מגוון הפונקציות]] הקיימות וכן על הקריטריונים לפיהם חוקרים אותן ([[תחום הגדרה]], [[תחומי עליה וירידה]], [[נקודות חיתוך עם הצירים]] וכן הלאה).
למשל, אם נתונה הפונקציה <math>y=x+2</math> והנקודות:
* (2,4)A
* (2,10)B
* (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.
 
אז :
* הצבת ערכי בפונקציה נותן : A <math>4=2+2</math> כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
* הצבת ערכי B בפונקציה נותן : <math>10=2+2</math> כיוון שהמשוואה היא פסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
* Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. <math>2=X+2</math>. לאחר [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|סידור אגפים]], אנו מגלים כי Xc=0.
 
==חקירת פונקציה==
כאשר אנו רוצים לאייר פונקציה עלינו לחקור אותה. במהלך החקירה אנו נבדוק את המאפיינים הבאים :
# תחום הגדרה -
# תחומי עליה ירידה
# נקודות חיתוך עם הצירים
#נקודות קיצון ופיתול.
#אסיפטוטות
 
==סוגים של פונקציות==
קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה לינארית/ישרה/קווית]] - הפונקציה הפשוטה ביותר.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית|פונקציה ריבועית]] - פונקציה ממעלה שנייה.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית הערך המוחלט|פונקציה הערך המוחלט]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה זוגיות ואי זוגיות|פונקציה זוגית ואי זוגית]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית הפולינום|פונקצית הפולינום]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|פונקציה רציונלית]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש הריבועי|פונקצית השורש הריבועי]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה סתומה|פונקציה סתומה]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות|פונקציה טריגונומטרית]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה עם פרמטרים|פונקציה עם פרמטרים]] - פונקציה עם נעלים.
 
==סימוני הפונקציה==
===פונקציה פשוטה===
פונקציה פשוטה, מסומנת כך: <math>\ y= f \left( x \right) </math>, למשל: <math>\ y = 5x + 3 </math>.
 
==מתי אין פונקציה?==
קיימות שתי תבניות אפשריות :
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|על פי הגדרת הפונקציה]] , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.
# '''פונקציה מפורשת -''' פונקציה בה הנעלם y מבודד. כמו למשל : <math>y=2x^2+3</math>, <math>y=6x+5</math> וכדומה.
 
# '''פונקציה סתומה -''' פונקציב שבה הנעלם y אינו מבודד. כמו למשל : <math>yx=5</math>, <math>x^3+y^7+3=0</math> וכדומה.
[[קובץ:Naofuncao1.png|מרכז|thumb|250px| ל-<math>X_3</math> יש שתי טווחים/תמונות ולכן ההתאמה המתוארת אינה התאמה של פונקציה.]]
 
בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).
 
 
===פונקציה מורכבת===
בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, <math>\ y=f(x) </math>. <br />. <br />
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד.
דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: <math>\ f_1(x), f_2(x), f_3(x) </math> וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים '''"האינדקס של f".'''
 
===ערכי X ו-Y===
כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.
 
בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- <math>\ x </math> את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.
 
לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: <math>\ f(1) </math>.