מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/שיפוע/משמעות השיפוע: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
פוצל
שורה 1:
{{בעבודה}}
{{תוכן עניינים|
{| class="wikitable"
#[[/הזווית בין ישר למישור/]]
|
#[[/מציאת מישור ואנך/]]
==הקדמה==
#[[/מציאת שיפוע/]]
בפרקים הקודמים הגדרנו את המילה [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע|שיפוע]] והצגנו את נוסחת השיפוע <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>. בפרק זה נוכיח את נוסחת השיפוע באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/פונקצית הקוסינוס|פונקצית הקסינוס]] ו[[מתמטיקה תיכונית/הנדסת המרחב/משפטי היטל|היטל]] ונלמד כיצד למצוא את גודל הזווית בין השיפוע לציר ה-<math>x</math>. בכדי להקל על ההסבר נעזר בהדגמה על הפונקציה <math>2x+4</math>. מטרתנו למצוא את השיפוע של הפונקציה <math>2x+4</math> ללא שימוש בנוסחת השיפוע.
#[[/דוגמות לתרגילים/]]
}}
 
===כיצד לחשב את גודל השיפוע===
שיפוע בהגדרתו המילונית הוא {{ציטוטון|שיעור העלייה או הירידה של פני הקרקע|א.אבן שושן, המילון החדש, 1991}}.
 
במילים אחרות, בכדי לאמוד גודל של שיפוע, עלינו להשוואות את ישר השיפוע אל ישר (הנמצא על מישור אחר). באמצעות השוואה נוכל לבחון את גודל הזווית הנוצרת בין המישור לבין ישר השיפוע.
 
===הזווית בין המישור לשיפוע===
אנו יודעים לחשב את גודל [[מתמטיקה תיכונית/הנדסת המרחב/הזווית בין ישר למישור|הזווית בין ישר למישור]].
 
[[קובץ:זווית בין ישר למישור.PNG|מרכז|thumb|550px|שלבים למציאת הזווית בין ישר למישור]]
 
===נתונים קיימים וחסרים===
בכדי להשתמש במשפט המעריך את גודל הזווית בין מישור לישר, אנו צריכים :
# משופע (<math>2x+4</math>)
# מישור (חסר לנו)
# אנך אל מישור העובר דרך המשופע (חסר לנו).
 
כאשר נקבל משולש ישר זווית נוכל לבצע חישוב באמצעות [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות|טנגס]] (<math>tan \alpha=\frac{a}{b}</math>) כדי למצוא את הזווית.
 
[[קובץ:טריגונומטריה - הפונקציות הטריגונומטריות - 1.png|ימין|thumb|250px|<math>tan \alpha=\frac{a}{b}</math>]]
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
==מישור ואנך==
===אנך===
[[קובץ:Graph describing a linear function.svg|שמאל|thumb|250px|]]
אנו צרכים אנך שיעבור דרך נקודה של המשופע ויהיה אנך למישור. איזה מישור?
 
מאחר שעולמנו כולו מבוסס על [[מערכת הצירים]] יהיה לנו קל לנו להיעזר במערכת זו ולבנות ישר המאונך לציר ה-<math>x</math>. באופן כזה אנו תופסים שתי ציפורים במכה. מצד אחד יהיה לנו אנך ומצד שני היטל.
 
אם המישור שלנו הוא ציר ה-<math>x</math>, אנך אליו חייב להיות מקביל לציר <math>y</math> (מפני שציר ה- <math>y</math> וציר ה-<math>x</math> אנכים זה לזה). דרך המשופע עוברים אלפי אנכים אל ציר ה-<math>x</math>. בכדי להקל על החישוב נבחר בישר העובר דרך ציר ה-<math>y</math> כאנך למשופע אל ציר ה-<math>x</math>.
 
בכדי לייצר משוואת ישר, אנו זקוקים ל[[שתי נקודות]] העוברות דרך הישר. הנקודה הראשונה שאנו יודעים בוודאות שעוברת דרך הישר היא הנקודה <math> (0,0) </math>.
 
הנקודה השנייה, תהיה [[נקודת החיתוך]] של האנך עם המשופע. נקודת החיתוך חייבת לעבור דרך הישר העבור בציר ה-<math>x</math> ולכן ערך ה-<math>x</math> של הנקודה יהיה <math>x=0</math>. מנגד אנו יודעים כי נקודת החיתוך עוברת דרך המשופע לכן היא [[מקיימת את משוואת הישר]].
 
נציב את ערך ה-<math>x=0</math> במושפע <math>y=2*0+4</math> ונמצא את ערך ה-<math>y</math> של נקודת החיתוך. נקודת החיתוך של האנך עם המשופע היא <math> (0,4) </math>.
 
===היטל למישור===
גם במקרה זה אין לנו היטל, אולם נוכל לייצר אותו. ההיטל יוצר עם האנך זווית של <math>90^circ</math> ובהתאם לסעיף הקודם, ישר העובר דרך ציר ה-<math>x</math> יתפקד עברנו בתור היטל.
 
הנקודה הראשונה העוברת דרך ישר זה היא הנקודה <math> (0,0) </math>.
 
[[נקודת החיתוך]] עם המשופע בעלת ערך <math>y=0</math>. אנו יודעים כי נקודת החיתוך עוברת גם דרך המשופע ולכן נציב את ערך ה-<math>y</math> במושפע <math>2x+4=0</math> ונגלה את ערך ה-<math>x</math> של נקודת החיתוך. נקודת החיתוך היא <math> (-2,0) </math>
 
===נקודת החיתוך של האנך והמישור===
קל מאוד למצוא את נקודת החיתוך של האנך והמישור. מאחר שאנחנו מדברים על ישרים בעלי ערכים קבועים, נקודת החיתוך היא הנקודה (2,4). מי שמתקשה לראות זאת יכול לצייר או לרשום את המשוואות של שני הישרים ול[[השוואות]] בניהם.
 
==מציאת שיפוע==
[[קובץ:Slope and linear functions.tif|left|thumb|250px|בניגוד למשולש שאינו נמצא על מערכת צירים, המשולש שלנו נמצא על מערכת צירים. לכן, בכדי למצוא את אורך המשולש, יש להחסיר את הערכים המיותרים]]
 
עתה משיש לנו היטל אנך ומשופע אנו זקוקים לגדלים בכדי למצוא את זווית <math>\alpha</math> ולהציבם בטנגנס.
 
'''אורך האנך''' (<math>\alpha</math>) שווה ל[[מרחק]] (<math> d = \sqrt{{(x_1 - x_2)}^2 + {(y_1 - y_2)}^2}</math>) בין נקודה <math> (4,0) </math> ל-<math> (0,0) </math>.
* נציב את הנתונים בנוסחת המרחק: <math> d_h = \sqrt{{(0-0)}^2 + {(4-0)}^2}=4</math>
 
'''אורך ההיטל''' (<math> \beta</math>) שווה למרחק בין הנקודה <math> (-2,0) </math> ו-<math> (0,0) </math>
* נציב את הנתונים בנוסחת המרחק: <math> d_h = \sqrt{{(0--2)}^2 + {(0-0)}^2}=2</math>
 
עתה נמצא את זווית אלפא בהתאם לטנגנס:
* <math>tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{4}{2}=2</math>
 
מצאנו את גודל השיפוע של הפונקציה. אם נחלץ את הטנגנס נמצא את גודל הזווית במעלות.
 
==נוסחת השיפוע==
בהינתן שתי נקודות על מישור, ניתן תמיד להעזר במערכת הצירים עבור יצירת אנך והיטל.
 
אורך האנך תמיד יהיה <math>tan \delta y</math>
 
אורך ההיטל תמיד יהיה <math>tan \delta x</math>
 
 
==ערך הזוויות ביחס לשיפוע==
* אם הזווית חדה - הפונקציה אמורה להיות בעלייה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית חדה תמיד יהיה חיובי, כלומר שיפוע חיובי - פונקציה עולה.
* אם הזווית קהה - הפונקציה אמורה להיות בירידה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית קהה תמיד יהיה שלילי, כלומר שיפוע שלילי - פונקציה יורדת.
* אם הזווית שווה ל90 מעלות - השיפוע אמור להיות לא מוגדר, וגם כאן, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית ישרה הוא לא מוגדר - שיפוע לא מוגדר.
* אם הזווית שווה ל180 (או 0 - אותו הדבר) מעלות, השיפוע אמור להיות 0, וכן, טגנס של 180 מעלות הוא באמת 0.
 
 
 
|}
 
==תרגילים==
# קיימים תרגילים בהם הזווית בין ציר ה-Y למשופע ידוע וחסר לנו הזווית של השיפוע. נבצע את הפעולות הבאות :
* הזווית בין ציר X לציר Y שווה 90.
* החסרת הזווית שבין ציר y לגרף הפונקציה מהזווית הישרה.
* קבלת הנותר - הזווית בין גרף הפונקציה לציר ה-X.
 
ניתן גם להשתמש בקוטגנס.
 
==דוגמאות==
=== דוגמה 1 ===
מהו השיפוע של פונקציה שבה הזווית שבין גרף פונקצית הישר לציר הx שווה ל45 מעלות?
פשוט מאוד, נציב בנוסחה ונקבל תשובה:
*<math> \ m = tan 45^{\circ} = 1 </math>.
 
=== דוגמה 2 ===
נתונה הפונקציה <math> \ y = 2x + 5</math>, מהי הזווית בין הגרף שלה לבין ציר הx ?
 
הפעם נשתמש בפונקציה ההופכית לטגנס. אבל ראשית, עלינו להבין כי השיפוע במקרה זה שווה ל2 - שכן הוא המקדם של הx.
עכשיו נציב הכל בנוסחה:
*<math> \ 2 = \tan \alpha </math>.
ונפתור את המשוואה ע"י שימוש בארקטגנס:
*<math> \alpha = \arctan 2 = 63^{\circ}27'</math>.
 
[[קטגוריה:הנדסה אנליטית לתיכון]]