מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
עיצוב
שורה 1:
{| class="wikitable"
=תבנית=
!פונקצית [[חשבון/שורש|שורש]] מורכבת
<math>y=\sqrt{f(x)}</math>. למשל : <math>f(x)=\sqrt{2}</math>, <math>f(x)=\sqrt{\frac{2x+3}{x}}</math>.
|-
|
 
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
=תיאור הפונקציה =
|-
לפונקציית השורש אין מראה החוזר על עצמו.
!
תבנית
|colspan="4"|
<math>y=\sqrt\frac{f(x)}{g(x)}</math>
<small>(הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש)</small>
 
|-
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]=
!
# תחום ההגדרה של הפונקציה שנמצאת בתוך השורש
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
#אין פתרון לשורש שלילי, לכן, תחום ההגדרה יכלול גם את כל הנקודות ש : <math>\sqrt{f(x)\ge 0}.</math>
|colspan="4"|
 
#<math>\sqrt{f(x)\ge 0}.</math>
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך|חיתוך עם הצירים]]=
# פונקצית שורש '''מורכבת''' : חשוב לוודא את תחום ההגדרה של הפונקציה הנוספת.
# חיתוך עם ציר X : נציב y=0 ונפתור.
#*כאשר הפונקציה היא <math>y=\sqrt{f(x)}{g(x)}</math>, יש לבדוק <math>g(x)>0</math>.
# חיתוך עם ציר Y : נציב x=0 ונפתור.
|-
 
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגהנקודות גרפיתחיתוך שלעם פונקציההצירים|תחוםחיתוך שליליעם וחיוביהצירים]]=
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
עבור פונקציה הנמצאת כולה מתחת לשורש, אין תחום שלילי, מכיוון שמדובר בביטוי שאינו יכול להיות שלילי.
|-
 
|
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקדת הקיצון]]=
נציב <math>y=0</math> ונפתור (לפחות) [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים|משוואה עם שורשים]].
# גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית שורש : <math>\sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
|-
# '''מציאת ערכי X של הנקודות -''' השוואה לאפס (<math>\ f'(x) = 0</math>).
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
# '''מציאת ערכי Y של הנקודות-''' את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.
|colspan="2"|
 
# הצבה <math>x=0</math>.
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]=
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
#* חיתוך עם ציר <math>y</math> - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר <math>y</math> - משוואה לא הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"|
# גזירת הפונקציה על פי [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/שורש ריבועי|נגזרת של פונקצית שורש]] : <math>\sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
# '''מציאת ערכי<math>x</math> של הנקודות -''' השוואה לאפס (<math>\ f'(x) = 0</math>).
# '''מציאת ערכי <math>y</math> של הנקודות-''' את ערכי ה-<math>y</math> נמצא על ידי הצבת ערכי ה-<math>x</math> במשוואה הפונקציה המקורית.
|-
!rowspan="2"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
|
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :
# נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש : <math>\sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
שורה 27 ⟵ 47:
# נפתור את המשוואה.
# נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]] (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
|-
 
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייה
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עליה וירידה]]=
|{{להשלים}}
כמו תמיד נעזר בטבלה בה נציב :
|-
*נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת '''נקודת תחום ההגדרה'''.
!rowspan="3"|[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
* נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
|-
**נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
*** ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
|
*** ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
# פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות/אסימפטוטות המאונכות לציר X|חור]]).
*נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום
# בדיקת תחום הגדרה.
 
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]=
==אסיפטוטה אנכית לציר X==
# פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|חור]]).
# בדיקת תחום הגדרה (לא לשכוח חייב ש: <math>\sqrt{x}\ge0</math>).
# אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.
|-
 
!rowspan==אסיפטוטה"1"|אסימפטוטה אופקית==
|colspan="1"|
# מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
# מציאת ערך ה-<math>x</math> הגדול ביותר בפונקציה.
# שלושת המצבים :
#* '''<math>y=0</math> (מתלכדת עם ציר ה-X<math>x</math> בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
#* '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X<math>x</math>-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#*''' אסיפטוטהאסימפטוטה Y<math>y</math> היא ערך מקדמי ה-X<math>x</math> הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
# רשימת הערכים בהם :
#* <math>\lim_{X \to \infty}</math>.
#* <math>\lim_{X \to -\infty}</math>.
# בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות <math>y</math> אסימפטוטת בפונקציה.
|-
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תיאור גרף|תיאור גרפי]]=
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|פונקציה עולה או יורדת]]
הצבת כל הנתונים במקרא מסודרת ויצירת גרף.
|colspan="2"|
נעזר בטבלה בה נציב :
*נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה.
* נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
**נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
*** ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
*** ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
*נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'.
*נמצא תחומי עליה וירידה
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]
|colspan="2"| הפונקציה אינה יכולה לקבל ערכים שלילים בשל השורש.
|}
 
[[קטגוריה : מתמטיקהחשבון דיפרנציאלי לתיכון]]