מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר: הבדלים בין גרסאות בדף

קצת סדר
(קצת סדר)
{{לשכתב}}
 
==הישר==
פונקציה של קו ישר היא כל פונקציה מהצורה:
[[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/ישר וחלקיו|ישר]] הוא קו העובר דרך שתי נקודות.
<math> \ y = mx + n</math> (לעיתים מסמנים<math> \ a</math> במקום <math> \ m</math> ו-<math> \ b</math> במקום <math> \ n</math>). כאשר <math> \ m</math> ו- <math> \ n</math> הם מספרים (מקדמים) ידועים.
 
'''ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר:''' קו ישר יכול להיות [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]] כאשר הוא עונה על [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|תנאי הפונקציה]]. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל <math> \ x = 2</math> הוא ישר העובר דרך הנקודות <math> \ (2,0), (2,1)</math> וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.
בפונקציה מסוג זה כל נקודות גרף הפונקציה, נמצאות על ישר אחד, ועל כן נקראת הפונקציה "פונקציה של קו ישר", או לעיתים "משוואת הישר" (שם נוסף הוא "פונקציה ממעלה ראשונה", שכן הx הוא בחזקת 1, וכן "פונקציה לינארית").
 
===בנית ישר באמצעות הצבת ערכים===
כאשר נתונת משוואת הישר ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.
 
==משוואת הישר==
<math> \ y = mx + n</math> (לעיתים מסמנים<math> \ a</math> במקום <math> \ m</math> ו-<math> \ b</math> במקום <math> \ n</math>). כאשר <math> \ m</math> ו- <math> \ n</math> הם מספרים (מקדמים) ידועים.
 
כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: <math> \ m</math> הוא [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע|שיפוע]] הפונקציה ו-<math> \ n</math> הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
 
=== נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי ===
ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי".
לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל <math> \ y = n</math>. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.
 
n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.
 
===שיפוע===
* ראה הרחבה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מצב הדדי בין פונקציות|מצב הדדי בין פונקציות]]
** אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: <math>\ m_1 \cdot m_2 = -1</math>
** אם נתונה הזווית <math>\ \alpha</math> עם ציר ה-x, מתקיים: <math>\ \tan \alpha = m</math>
 
==פתרון בעיות==
===מציאת ישר באמצעות שתי נקודות===
בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.
 
* נמצא את השיפוע של הישר באמצעות [[נוסחת השיפוע]]: <math>{y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}</math>
* הצבת השיפוע ונקודה ב<math>\ y-y_1=m(x-x_1) </math>
 
=== מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע ===
* <math> \ y = 5x + 10</math>. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
* <math> \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45</math>. פתרנו!
 
 
 
=== מציאת b בהנתן 2 נקודות ===
כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.
 
==נוסחה למציאת הישר==
 
כדי למצוא משוואת ישר, משתמשים בדרך כלל בנוסחה:
<math>\ y-y_1=m(x-x_1) </math>
 
כדי להשתמש בנוסחה זאת, דרושים שיפוע ונקודה.
 
אם לא נתון השיפוע, ניתן לגלות אותו באמצעות דרכים אחרות:
 
* אם נתונות שתי נקודות, אפשר על ידי הנוסחה <math>{y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}</math>
* אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: <math>\ m_1 \cdot m_2 = -1</math>
* אם נתונה הזווית <math>\ \alpha</math> עם ציר ה-x, מתקיים: <math>\ \tan \alpha = m</math>
[[קטגוריה:הנדסה אנליטית]]