|
==משמעות גרפית==
בנושא הקודם, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה| הגדרת הפונקציה]], הסברנו על הנקודה הנמצאת על פונקציה. טענו, שכל נקודה שנמצאת על פונקציה צריכה לקיים את המשוואה של הפונקציה. בפרק זה, נלמד כיצד לאפיין ולגלות את המציבים הקיימים בין שתי פונקציות כלומר מתי פונקציות נחתכות, כמה פעמים ואם בכלל.
{{תוכן עניינים|
==המצבים ההדים בין פונקציות==
==הקדמה==
הדרך הפשוטה ביותר לגלות את היחסים בין פונקציות היא באמצעות גרף. לאחר שרטוט של כל פונקציה, נוכל לזהות את נקודות החיתוך, כמה פעמים נתקלות זו בזו ואם בכלל.
המצבים הדדים בין פונקציות הוא מושג שמטרתו לתאר את היחסים בין שתי פונקציות (האם הן נפגשות זו עם זו, האם הן מקבילות וכן הלאה).
הדרך הפשוטה ביותר לגלות את היחסים בין פונקציות היא באמצעות גרף. לאחר שרטוט הפונקציות נוכל לזהות האם הפונקציות נחתכות, מקבילות או מתלכדות.
[[קובץ:Function 2x, 2x^2.JPG|מרכז|thumb|250px|]]
הבעיה היא שאיננו יודעים לצייר פונקציות פרט מ[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]] או מתקשים ולכן נאלץ למצוא דרך חישובית לגלות את המצב ההדדי בין פונקציות.
==נקודת החיתוך==
המצב ההדדי בין פונקציות יכול להתחלק לשני מקרים. המקרה הראשון כאשר הפונקציות נפגשות זו עם זו והמקרה השני כאשר הן לא. במילים אחרות, לו ידענו אם קיימות לשתי פונקציות נקודות חיתוך, היינו יכולים לדעת את המצב ההדדי בניהם.
'''נקודת חיתוך''' היא נקודת מפגש, צומת דרכה עוברות שתי הפונקציות. במילים אחרות נקודת המפגש [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|מקיימת]] את שתי משוואות הפונקציות.
{{דוגמה|
שם=מצא לאלו מהפונקציות הבאות הנקודה (2,4) היא נקודת מפגש של פונקציות:
# <math>y=x+2</math>
#<math>y=3x-x</math>
#<math>y=2x</math>
#<math>y=x^2</math>
#<math>y=4x</math>
|תוכן=
בכדי לענות על התרגיל נציב את הנקודה בכל אחת מהמשוואות ונבדוק אם היא מקיימת את המשוואה:
# <math>4=2+2</math>
#<math>4=3*2-2</math>
#<math>4=2*2</math>
#<math>4=2^2</math>
#<math>4=4*2</math>
הנקודה (2,4) היא נקודת החיתוך של הפונקציות 1-4.
}}
{{להשלים}}
חשוב להדגיש כי נקודת החיתוך עוברת על שני הישרים, מקיימת את המשוואות של שני הישרים. ערכה זהה.
==מאפיני המצבים ההדים בין פונקציות==
חקירת המצב הדדי בין פונקציות הוביל למציאת פתרון משותף לפיו ניתן לקבוע את טיב הקשר בין פונקציות:
# '''פונקציות [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיקות]] או נחתכות –''' פונקציות יכולות לחתוך זו את זו לפחות פעם אחת (נקודת חיתוך) או לגעת זוז בזו (נקודת השקה). במקרה בו פונקציות משיקות או נחתכות זוז עם זו, פתרון המשוואה יהיה יחיד : <math>x=n</math> (מספר = n).
#*[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציות ישרות]] [[מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/אנך|אנכיות]] - פונקציות שנחתכות זו בזו ויוצרות [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע|שיפוע]] של <math>90^\circ</math> כלומר <math>m_1*m_2=-1</math>.
# '''פונקציות מתלכדות –''' אותה פונקציה בווריאציה שונה, כלומר, ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|שיפוע]] והמקדם החופשי יהיו זהים בערכם אם נפתחת את המשוואה. פתרון המשוואה יהיה משוואה תקפה תמיד, כמו למשל : 0=0, 2=2. דוגמה : הפונקציה <math>y=2x+3</math> זהה בערכה לפונקציה <math>y=\frac{4}{2}+1.5*2</math> (אם פותחים את המשוואה מקבלים <math>y=\frac{4}{2}+1.5*2=2x+3</math> ). ישנם פעמים בהם נראה בקלות שהפונקציות זהות, וישנם פעמים בהם רק לאחר פתירת המשוואה, נגלה כי מדובר על אותה פונקציה.ניתן לזהות בקלות ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציות ישרות]] אם השיפועים והמקדמים זהים.
# '''פונקציות מקבילות -'''פונקציות שלא נפגשות לעולם. ניתן לזהות בקלות ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציות ישרות]] אם השיפועים זהים אך המקדמים החופשים שונים. '''פתרון המשוואה''' יהיה משוואה שאינה תקפה אף פעם, כמו למשל, 2=0.
<gallery>
תמונה:LinesForLinda.svg|פונקציות נחתכות
תמונה:Tangent-calculus.svg|פונקציות משיקות זו לזו
תמונה:Secant-calculus.svg|פונקציות בעלות שתי נקודות חיתוך.
תמונה:FuncionLineal06.svg|פונקציות מקבילות
</gallery>
מצב הדדי בין פונקציות יכול להיות בין כל [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/סוגים של פונקציות|סוגי הפונקציות]] שנלמד, כלומר בתחילה בין [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]] ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]], בין [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה]] ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית|פונקציה ריבועית]], ועם הזמן נעלה את מגוון הפונקציות להן נמצא נקודות חיתוך, כאשר העיקרון של מציאת נקודת החיתוך חוזר על עצמו לאורך כל הדרך.<br />
במילים אחרות, ערך מתאים לכל רמה בה אתם נתקלים בנושא, אולם, יש להתאימו ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/סוגים של פונקציות|סוג הפונקציות]] אותן אתם יודעים.
==השוואה – מציאת נקודת חיתוך==
במילים אחרות, במקום למצוא את הפונקציות עבור נקודת החיתוך, נמצא את נקודת החיתוך עבור המשוואות על פי העיקרון עליו התבססנו.
===דוגמא===
נתונות הפונקציות :
* <math>y=2x</math>
* <math>y=x^2</math>
* מהי נקודת החיתוך? [נסמן : נקודת חיתוך (X,Y)]
קיימות לנו מספר משוואות (במקרה שלנו שתים) ואנו רוצים לדעת את נקודת החיתוך שלהן. במקרה כזה, נשווה בין המשוואות הקיימות עד למציאת הפיתרון.
====מדוע משווים?====
במשוואות של הפונקציות, אנו מקבלים את היחס בין X ל-Y. הביטוי זהה עבור כלל הנקודות הקיימות על הגרף, ולכן, תקף עבור נקודת החיתוך. מצד שני, אנו יכולים גם לומר, שאנו מקבלים שתי משוואות שנכונות עבור אותו נעלם.
השוואה בין הביטויים (Y המבוטא באמצעות משוואה 1 עבור נקודת חיתוך, צריך להיות שווה ל-Y המבוטא באמצעות משוואה 2 עבור נקודת החיתוך, כיוון שמדובר על אותו ערך של Y), צריכה לתת לנו את אותה תשובה, כיוון שמדובר באותה נקודה.
<math>
\begin{align}
&2x=x^2\\
&x^2-2x=0\\
&x(x-2)=0\\
&x=2 &x=0\\
\end{align}
</math>
על פי הדוגמא, קיימות שתי נקודות חיתוך. הצבה באחת מהמשוואות, תיתן לנו את Y של הנקודה :
<math>
\begin{align}
&Y(2)=2*2=4 (2,4)\\
&Y(0)=2*0=0 (0,0)\\
\end{align}
</math>
===הערה===
במקרה שלנו קיבלנו פתרון מהסוג של x=n, אולם, קיימים עוד שני סוגים של פתרונות (הפתרונות שמוצגים בראש העמוד).
== גרף מעל ומתחת ==
ישנם שתי דרכים למצוא איזה גרף מעל איזה גרף :
=== גרף ===
# מציאת נקודות קיצון של הפונקציות.
# שרטוט הפונקציה.
# בדיקה על ידי התבוננות היכן הפונקציה מעל פונקציה.
=== חישוב ===
*בכדי לדעת מתי <math>g(x)</math> גדול מ-<math>f(x)</math> נפתור את [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות|אי השיוויון]] : <math>g(x)> f(x)</math>.
*בכדי לדעת מתי <math>g(x)</math> קטן מ-<math>f(x)</math> נפתור את [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות|אי השוויון]] : <math>g(x)<f(x)</math>.
===והיחסים נקבעים בידי מי?===
====דוגמא====
קיומה או אי קיומה של נקודת חיתוך מגדיר את מערכת היחסים בין הפונקציות.
יש לנו שתי פונקציות :
* <math>\ g(x)=2x^2+8</math>.
* <math>\ f(x)=3x^2+6</math>.
* מתי <math>\ g(x)</math> גדול מ-<math>\ f(x)</math>?
ברגע שאנו יודעים על קיומה או אי קיומה של נקודה משותפת אפשר לשלול את המצבים ההדים:
* <math>\ 2x^2+8>3x^2+6 </math>– נסדר אגפים
# האם הפונקציות נחתכות או משיקות - יש להן נקודת חיתוך לפחות אחת
* <math>\ x^2-2<0</math>
# האם הן מקבילות - אין להן נקודות חיתוך.
* <math>\ x^2-2=0</math>
# האם הן מתלכדות - הן עוברות באותן נקודות. כלומר כל הנקודות שלהן זהות.
*<math>\ x^2=2</math>
* <math>X=\sqrt{2}</math> , <math>x=-\sqrt{2}</math>
==נושאים==
#[[/פונקציות נחתכות ומשיקות|נקודת מפגש של שתי פונקציות]] - מדוע משווים?
#[[/סיכום מצב הדדי בין פונקציות/]]
#[[/תחומי עליה וירידה/]]
}}
נצייר צייר X ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פרבולה ישרה]]) ונבדוק מתי X קטן מאפס.
'''<math>g(x)</math> גדול מ-<math>f(x)</math> בטווח:'''<math>-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}</math>
| 