ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 116:
 
כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"[[השלמה לריבוע]]"
:<center><math>\!\, ax^2+bx+c=0</math></center>▼
<center>
▲:<math>\!\, ax^2+bx+c=0</math>
</center>
נכפיל את המשוואה ב- <math>\;4a</math> ונקבל:▼
<center>
 
▲נכפילנחלק את המשוואה ב- <math>\;4aa</math> ונקבל:
<math>\!\,
<center><math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0</math></center>
4a^2 x^2 + 4abx + 4ac=0
</math>
</center>
 
עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונוסיף לכל אגףונהפוך את הביטוישני <math>\האגפים b^2לביטוי -4ac</math>ריבועי:
:'''א.''' תחילה נפשט את הביטוי <math>\frac{b}{a}x</math> כך:
<center>
<center><math>\frac{b}{a}x = \frac{b}{2a}x + \frac{b}{2a}x = 2 \cdot \frac{b}{2a}x</math></center>
::ונציב במשוואה הראשית:
<center><math>x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \frac{c}{a}=0</math></center>
 
:'''ב.''' נחסר את הביטוי <math>\frac{c}{a}</math> משני האגפים:
<math>\ 4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac</math>
<center><math>x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x = -\frac{c}{a}</math></center>
</center>
על האגף השמאלי נפעיל את נוסחאות הכפל המקוצר:
<center>
<math>\left(2ax+b\right)^2 = b^2-4ac </math>▼
</center>
 
::וכדי להשלים את הריבוע סופית נוסיף את הביטוי הריבועי <math>\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> לשני האגפים:
נוציא שורש ריבועי משני האגפים:▼
<center><math>x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a}</math></center>
 
עתה ניתן להפוך את אגף שמאל כולו לביטוי ריבועי פשוט (מוכר לכם?)
<center>
<center><math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a}</math></center>
 
נפתח סוגריים באגף ימין:
<math>2ax_{1,2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac} </math>▼
<center><math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a}</math></center>
</center>
 
ונכנס אברים באמצעות מכנה משותף:
מכיוון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון <math>\ x_{1,2}</math> ומתקבלים בעזרת הסימן <math>\pm</math> כפי שהודגם בראש העמוד.<br>▼
▲<center><math>\left(2axx + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 -4ac 4ac}{4a^2}</math></center>
נחסיר <math>\;b</math> משני אגפי המשוואה כדי לבודד את <math>\;x_{1,2}</math>:▼
<center>
<math>2ax_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }</math>
</center>
 
▲כמעט סיימנו. נוציא שורש ריבועי משני האגפים:
נחלק ב <math>\ 2a</math>, ומכאן נקבל ש
<center><math>x_{1,2}x =+ \frac{-b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac\ }}{2a4a^2}} </math></center>▼
<center>
 
▲<math>x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} </math>
▲מכיוון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון <math>\ x_{1,2}</math> ומתקבלים בעזרת הסימן <math>\pm</math> כפי שהודגם בראש העמוד.<br>{{ש}}
</center>
המכנה בשורש באגף ימין עובר פישוט ומצטמצם, ואילו המונה בשורש עומד בעינו, כך:
<center><math>x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math></center>
 
▲נחסירעתה, כל שעלינו לעשות הוא להחסיר <math>\;frac{b}{2a}</math> משני אגפי המשוואה כדי לבודד את <math>\;x_{1,2}</math>:
<center><math>x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math></center>
 
נכנס אברים במכנה משותף <math>2a</math>, ונקבל ש-
▲<center><math>2ax_x_{1,2}+b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}</math></center>
כנדרש.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/משוואות/משוואות_ריבועיות"