מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף

עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשוייהעשויה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב, ולכן. נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.

נניח כי אנו רוצים למצוא את שני השורשים של המספר המרוכב <math>\ z=a+bi</math>. אנחנו מנחשים שהשורשים גם הם מספרים מרוכבים. בעקרון יש להוכיח כי ניחוש כזה הוא לגיטימי, אולם נדחה את ההוכחה למקרה הכללי. נניח אם כן כי <math>\ x+iyyi</math> הוא מספר מרוכב שמהווה את אחד מהשורשים וננסה לראות מהם ערכי <math>\ x,y</math>.

<math>\ (x+yi)^2=a+bi</math>

<math>\ x^2-y^2+2xyi=a+bi</math>

#<math>\ x^2-y^2=a</math>

#<math>\ 2xy=b</math>

נניח שאנו מחפשים את <math>\ \sqrt{5+12i}</math>. על -פי השיטה שהראינו, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:

#<math>\ x^2-y^2=5</math>

#<math>\ 2xy=12</math>

<math>\ x=\frac{6}{y}</math>

<math>\ \frac{36}{y^2}-y^2=5</math>

<math>\ y^4+5y^2-36=0</math>

נגדיר <math>\ t=y^2</math> וקיבלנו משוואה ריבועיות רגילה:

<math>\ t^2+5t-36=0</math>

פתרונות המשוואה הם <math>\ t_{1,2}=4,-9</math>. מכיוון ש-<math>\ y</math> הוא מספר ממשי הפתרון <math>\ y^2=-9</math> אינו קביל, ולכן <math>\ y_{1,2}=\pm 2</math> הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות <math>\ x_{1,2}=\pm 3</math>.

כעת נראה דוגמה לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם <math>\ az^2+bz+c=0</math> היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על -ידי:

נפתור את המשוואה הריבועיות <math>\ z^2+(1+2i)z-2-2i</math>

<math>\ b^2-4ac=(1+2i)^2+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i</math>

<math>\ z_{1,2}=\frac{-1-2i\pm(3+2i)}{2}</math> ונקבל את שני הפתרונות:

<math>\ z_1=1 ,z_2=(-2-2i)</math>

תהא <math>\ az^2+bz+c</math> משוואה ריבועית. על פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:

#<math>\ z_1+z_2=-\frac{b}{a}</math>