תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספתי נקודה בסוף המשפט. תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
הוספתי דוגמאות |
||
שורה 1:
בפרק זה נגדיר מהי פונקציה ונבחן סוגי פונקציות.
==הגדרה==
[[תורת הקבוצות/יחסים|יחס]] <math>R\subseteq A\times B</math> ייקרא '''פונקציה''' אם לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> יחיד כך ש<math>aRb</math>. במקרה כזה A ייקרא '''התחום''' של הפונקציה ואילו B ייקרא '''הטווח
===דוגמאות===
* היחס <math>f\subseteq \mathbb{R}^2</math> המוגדר על ידי <math>f(x) = x + 1</math> הוא פונקציה.
* היחס <math>g\subseteq \left\{ 1,2 \right\}\times \left\{ 3,5,10 \right\}</math> המוגדר על ידי <math>g(1) = 10</math>,<math>g(2) = 3</math> הוא פונקציה, עף על פי שאינה מוגדרת על ידי שום
*היחס <math>s\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{R}</math> המוגדר על ידי <math>s(x) = \pm \sqrt{x}</math> אינו פונקציה מכיוון שלכל מספר טבעי היחס מחזיר שני מספרים(למשל 2 ו2- ל4).
*היחס <math>p\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> המוגדר באמצעות <math>p(1) = 0</math> אינו פונקציה מכיוון שאינו מוגדר על כל הטבעיים.
===הרכבה של פונקציות===
אם <math>f: A\to B</math> ו<math>g: B\to C</math> הן פונקציות אז '''ההרכבה''' שלהן <math>g \circ f: A\to C</math> מוגדרת בתור <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>.
שורה 20:
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''' של <math>f</math>,
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>(f \circ f^{-1})(x) = x</math> לכל x.
===דוגמאות===
*הפונקציה <math>l:\mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> המוגדרת על ידי <math>l(x) = x + 15</math> היא חח״ע אבל לא על, כי למספרים <math>1,\cdots, 15</math> לא קיים מקור. ההופכות שלה היא <math>l^{-1}(x) = x - 15</math>
*הפונקציה <math>v:\mathbb{R}\to (0,1)</math> המוגדרת על ידי <math>v(x) = \sin x</math> היא על אבל לא חח״ע כי למשל, <math>v(\pi) = v(2\pi) = 0</math>. ההופכות שלה היא <math>v^{-1}(x) = \arcsin x</math>.
*הפונקציה <math>k: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}</math> המוגדרת על ידי <math>k(x) = x - 1</math> היא כן חח״ע ועל, וההופכית שלה היא <math>k^{-1}(x) = x + 1</math>.
| |||