תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שייכתי את הערך לקטגוריה |
הוספתי תוכן |
||
שורה 2:
==הגדרה==
[[תורת הקבוצות/יחסים|יחס]] <math>R\subseteq A\times B</math> ייקרא '''פונקציה''' אם מהוא מקיים שתי תכונות:
#קיום: לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> #יחידות: אם <math>aRb_1</math> ו<math>aRb_2</math> אז <math>b_1 = b_2</math>. במקרה כזה A ייקרא '''התחום''' של הפונקציה ואילו B ייקרא '''הטווח''' של הפונקציה ומסמנים זאת כך: <math>R: A\to B</math>. לרוב מסמנים פונקציות באותיות <math>f</math>(קיצור של המילה function) או <math>g</math>. אם ל<math>a\in A</math> מתקיים <math>f(a) = b</math> אז b ייקרא '''התמונה''' של a ואילו a ייקרא '''המקור''' של b. ===דוגמאות===
* היחס <math>f\subseteq \mathbb{R}^2</math> המוגדר על ידי <math>f(x) = x + 1</math> הוא פונקציה.
* היחס <math>g\subseteq \left\{ 1,2 \right\}\times \left\{ 3,5,10 \right\}</math> המוגדר על ידי <math>g(1) = 10</math>,<math>g(2) = 3</math> הוא פונקציה,
*היחס <math>s\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{R}</math> המוגדר על ידי <math>s(x) = \pm \sqrt{x}</math> אינו פונקציה מכיוון שלכל מספר טבעי היחס מחזיר שני מספרים(למשל 2 ו2- ל4).
*היחס <math>p\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> המוגדר באמצעות <math>p(1) = 0</math> אינו פונקציה מכיוון שאינו מוגדר על כל הטבעיים.
שורה 12 ⟵ 15:
==סוגי פונקציות==
פונקציה חח״ע: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע'''
פונקציה על: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''על''' אם לכל <math>b\in B</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש<math>f(a) = b</math>.
פונקציה חח״ע ועל: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע ועל'''
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''' של <math>f</math>,
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>(f \circ f^{-1})(x) = x</math> לכל x.
(הערה: באופן תיאורטי רק לפונקציות חח״ע ועל יש הופכית. למרות זאת אפשר במובן מסיום להגדיר הופכית לפונקציה שאינה חח״ע ועל על ידי שינוי התחום והטווח.)
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=קבוצות שקולות|
תוכן=נגדיר קבוצות A וB כ'''שקולות''' אם קיימת פונקציה <math>f: A\to B</math> שהיא חח״ע ועל. ההיגיון מאחורי הגדרה זו ייחשף כשנלמד על [[תורת הקבוצות/עוצמות|עוצמות]]}}
===דוגמאות===
*הפונקציה <math>d: \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>d(x) = x^2</math> אינה חח״ע כי למשל <math>-1^2 = 1^2</math> ואינה על כי לא קיים מקור ל<math>-1</math>. הופכית שלה היא <math>d^{-1}(x) = \sqrt x</math>
שורה 25 ⟵ 35:
*הפונקציה <math>v:\mathbb{R}\to (0,1)</math> המוגדרת על ידי <math>v(x) = \sin x</math> היא על אבל לא חח״ע כי למשל, <math>v(\pi) = v(2\pi) = 0</math>. ההופכות שלה היא <math>v^{-1}(x) = \arcsin x</math>.
*הפונקציה <math>k: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}</math> המוגדרת על ידי <math>k(x) = x - 1</math> היא כן חח״ע ועל, וההופכית שלה היא <math>k^{-1}(x) = x + 1</math>.
==טענות על פונקציות==
{{טענה|
מספר=1|
שם=|
תוכן=אם <math>f:A\to B</math> ו<math>g: B\to C</math> הן פונקציות חח״ע ועל אז גם ההרכבה <math>g\circ f: A\to B</math> היא חח״ע ועל.}}
{{הוכחה|
חח״ע: יהי <math>a_1,a_2\in A</math> כך ש<math>(g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)</math>. מכיוון ש<math>g</math> חח״ע <math>f(a_1) = f(a_2)</math>. מכיוון ש<math>f</math> חח״ע <math>a_1 = a_2</math>.
על:יהי <math>c\in C</math>. מכיוון ש<math>g</math> חח״ע קיים <math>b\in B</math> כך ש<math>g(b) = c</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>a\in A</math> כך ש<math>f(a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g(b) = c</math>.}}
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
| |||