מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף

ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר <math>\ \sqrt{a^2+b^2}</math>. לתוצאה זו הגענו על פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על -ידי האות <math>\ r</math>.

כדי למצוא את הזווית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזווית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס <math>\ \frac{b}{a}</math>. לכן הזווית שלנו נתונה על -ידי <math>\ \tan(\theta)=\frac{b}{a}</math> (בשביל הזווית אנו משתמשים באות היוונית תטהתטא). למשוואה זו יש שני פתרונות שונים בקטע <math>\ [0^\circ,360^\circ]</math>, וכדי לבחור את הזווית הנכונה אנחנו צריכים לבחור את זו שמתאימה לרביע שבו נמצא המספר שלנו. כזכור מטריגונומטריה, ניתן למצוא את הרביע על פי הסימנים של <math>\ a,b</math>:

בעיה יכולה להתעורר כאשר <math>\ a=0</math>, כי הרי אז הביטוי <math>\ \frac{b}{a}</math> אינו מוגדר. נשים לב כי אם <math>\ a=0</math>, הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויות שהוא יוצר היא של <math>\ 90^\circ</math> במקרה שבו כיוונו הוא כלפי מעלה, כלומר <math>\ b>0</math>, ושל <math>\ 270^\circ</math> כאשר <math>\ b<0</math>. במקרה שבו גם <math>\ a=0</math> וגם <math>\ b=0</math> (כלומר המספר המרוכב שלנו הוא 0) נהוג להותיר את הזווית בלתי מוגדרת.

:<math>\ z=r\cos(\theta)+i\cdot r\sin(\theta)=r\cdot\left([\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)]</math>.

<math>\ \cos(\theta)+i\sin(\theta)=\mathrm{cis}(\theta)</math>.