ויקיספר

תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏דוגמאות: תיקנתי שגיאה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
הוספתי את משפט 2.2
שורה 6:
#קיום: לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש<math>aRb</math>.
#יחידות: אם <math>aRb_1</math> ו<math>aRb_2</math> אז <math>b_1 = b_2</math>.
במקרה כזה <math>A</math> ייקרא '''התחום''' של הפונקציה ואילו <math>B</math> ייקרא '''הטווח''' של הפונקציה ומסמנים זאת כך: <math>R: A\to B</math>. לרוב מסמנים פונקציות באותיות <math>f</math>(קיצור של המילה function) או <math>g</math>. אם ל<math>a\in A</math> מתקיים <math>f(a) = b</math> אז b ייקרא '''התמונה''' של a ואילו a ייקרא '''המקור''' של b.
===דוגמאות===
* היחס <math>f\subseteq \mathbb{R}^2</math> המוגדר על ידי <math>f(x) = x + 1</math> הוא פונקציה.
שורה 27:
{{הגדרה|
 
מספר=1.6|
שם=קבוצות שקולות|
 
תוכן=נגדיר קבוצות <math>A</math> וBו<math>B</math> כ'''שקולות''' אם קיימת פונקציה <math>f: A\to B</math> שהיא חח״ע ועל. ההיגיון מאחורי הגדרה זו ייחשף כשנלמד על [[תורת הקבוצות/עוצמות|עוצמות]]}}
===דוגמאות===
*הפונקציה <math>d: \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>d(x) = x^2</math> אינה חח״ע כי למשל <math>-1^2 = 1^2</math> ואינה על כי לא קיים מקור ל<math>-1</math>. ההופכית שלה היא <math>d^{-1}(x) = \sqrt x</math>
*הפונקציה <math>l:\mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> המוגדרת על ידי <math>l(x) = x + 15</math> היא חח״ע אבל לא על, כי למספרים <math>1,\cdots, 15</math> לא קיים מקור. ההופכית שלה היא <math>l^{-1}(x) = x - 15</math>
*הפונקציה <math>v:\mathbb{R}\to (0,1)</math> המוגדרת על ידי <math>v(x) = \sin x</math> היא על אבל לא חח״ע כי למשל, <math>v(\pi) = v(2\pi) = 0</math>. ההופכית שלה היא <math>v^{-1}(x) = \arcsin x</math>.
*הפונקציה <math>k: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}</math> המוגדרת על ידי <math>k(x) = x - 1</math> היא כן חח״ע ועל, וההופכית שלה היא <math>k^{-1}(x) = x + 1</math>.
 
{{משפט|
==טענות על פונקציות==
{{טענה|
 
מספר=2.1|
שם=|
 
תוכן=אם <math>f:A\to B</math> ו<math>g: B\to C</math> הן פונקציות חח״ע ועל אז גם ההרכבה <math>g\circ f: A\to B</math> היא חח״ע ועל.}}
 
{{הוכחה|
 
חח״ע: יהי <math>a_1,a_2\in A</math> כך ש<math>(g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)</math>. מכיוון ש<math>g</math> חח״ע <math>f(a_1) = f(a_2)</math>. מכיוון ש<math>f</math> חח״ע <math>a_1 = a_2</math>.
 
על:יהי <math>c\in C</math>. מכיוון ש<math>g</math> חח״עעל קיים <math>b\in B</math> כך ש<math>g(b) = c</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>a\in A</math> כך ש<math>f(a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g(b) = c</math>.}}
 
{{הגדרה|
 
מספר=1.7|
שם=|
 
תוכן=אם <math>A</math> ו<math>B</math> הן קבוצות אז נגדיר את <math>B^A=\left\{f: A\to B \right\}</math>.כלומר: אוסף כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>B</math>. כעת נבהיר את הסימון מאחורי <math>2^A</math> בתור קבוצת החזקה: אפשר לחשוב על כל תת קבוצה <math>X</math> בתור פונקציה <math>f: A\to 2</math> המוגדרת בתור <math>f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x\not \in B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right.</math> ולכן קבוצת החזקה היא קבוצת כל הפונקציות מ<math>A</math> ל2, וזוהי ההגדרה של <math>2^A</math>.}}
 
{{משפט|
 
מספר=2.2|
שם=|
 
תוכן= לכל <math>A</math>, לא קיימת פונקציה על מ<math>A</math> ל<math>2^A</math>}}
 
{{הוכחה|נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f</math> שהיא על. ניצור תת קבוצה <math>Z = \left\{x | x\not \in f(x) \right\}</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>z</math> כך ש<math>f(z) = Z</math>. כעת, האם <math>z\in Z</math>? אם כן, אז על פי הגדרת <math>Z</math> מתקיים <math>z\not \in Z</math> בסתירה לכך ש<math>z\in Z</math>. אם <math>z\not \in Z</math> אז <math>z\not \in f(z)</math> ולכן <math>x\in Z</math>.}}
 
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/פונקציות"