תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספתי תוכן
הוספתי תוכן
שורה 14:
אם <math>f: A\to B</math> ו<math>g: B\to C</math> הן פונקציות אז '''ההרכבה''' שלהן <math>g \circ f: A\to C</math> מוגדרת בתור <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>.
===פונקציית זהות===
אם <math>A</math> היא קבוצה אז הפונקציה <math>\mbox{Id}_{A}: A\to A</math> המוגדרת באמצעות <math>\mbox{Id}_{A}(x) = x</math> לכל <math>x\in A</math>. נשים לב כי לא מתקיים בהכרח <math>\mbox{Id}_{A} = \mbox{Id}_{B}</math>: למשל הפונקציה <math>f(x) = \left| x \right|</math> היא <math>\mbox{Id}_{\mathbb{N}}</math> אבל לא <math>\mbox{Id}_{\mathbb{Z}}</math>.
==סוגי פונקציות==
פונקציה חח״ע: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע''' או '''חד חד ערכית''' אם <math>f(a_1) = f(a_2)</math> גורר <math>a_1 = a_2</math>.
שורה 23:
 
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''' של <math>f</math>,
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מוגדרת בתור <math>f^{-1} = \left\{b, a) | aRb \right\}</math>. בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1} = \mbox{Id}_{B}</math> ו<math>f^{-1}\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>
(הערה: באופן תיאורטי רק לפונקציות חח״ע ועל יש הופכית. למרות זאת אפשר במובן מסיום להגדיר הופכית לפונקציה שאינה חח״ע ועל על ידי שינוי התחום והטווח.)
{{הגדרה|
שורה 72:
כעת נניח כי <math>f</math> על. לכל <math>y\in B</math> קיימת קבוצה לא ריקה <math>f_y = \left\{x | f(x) = y \right\}</math>, ולכל קבוצה כזו נבחר ״נציג״ <math>x_0</math> ונגדיר <math>g(y) = x_0</math>. כעת <math>(f\circ g)(y) = f(g(y)) = f(x_0) = y</math>. בהוכחה זו השתמשנו באופן מובלע [[תורת הקבוצות/אקסיומת הבחירה|באקסיומת הבחירה]].}}
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
 
{{משפט|
 
מספר=2.4|
שם=|
 
תוכן=לכל <math>A</math> ו<math>B</math>, קיימת פונקציה חח״ע מ<math>A</math> ל<math>B</math> אם ורק אם קיימת פונקציה על מ<math>B</math> ל<math>A</math>.}}
 
{{הוכחה|נניח שקיימת פונקציה חח״ע <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת פונקציה <math>g: B\to A</math> כך ש<math>g\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>. יהי
<math>a\in A</math>, אז <math>g(f(a) = a</math>, ולכן <math>f(a)</math> הוא מקור ל<math>a</math>. כעת נניח שקיימת פונקציה על <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת <math>g: A\to B</math> כך ש<math>f\circ g = \mbox{Id}_{A}</math>. נניח ש<math>g(a_1) = g(a_2)</math>, אז <math>a_1 = f(g(a_1)) = f(g(a_2)) = a_2</math>.}}
 
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|פונקציות]]