תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

{{הוכחה|נניח כי <math>f</math> חח״ע. יהי <math>a\in A</math>(ההוכחה במקרה ש<math>A = \emptyset</math> נשארת כתרגיל לקורא), כעת נגדיר את <math>g</math> בתור <math>g(x) = \left\{\begin{matrix} x & \exists y\in A: f(y) = x \\ a & \forall y\in A: f(y) \not = x\end{matrix}\right.</math>. נגדיר <math>f(x) = y</math>, אז <math>(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x</math>.

כעת נניח כי <math>f</math> על. לכל <math>y\in B</math> קיימת קבוצה לא ריקה <math>f_y = \left\{x | f(x) = y \right\}</math>, ולכל קבוצה כזו נבחר ״נציג״ <math>x_0</math> ונגדיר <math>g(y) = x_0</math>. כעת <math>(f\circ g)(y) = f(g(y)) = f(x_0) = y</math>. בהוכחה זו השתמשנו באופן מובלע [[תורת הקבוצות/אקסיומת הבחירה|באקסיומת הבחירה]].}}

 

{{משפט|

{{הוכחה|נניח שקיימת פונקציה חח״ע <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת פונקציה <math>g: B\to A</math> כך ש<math>g\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>. יהי

<math>a\in A</math>, אז <math>g(f(a) = a</math>, ולכן <math>f(a)</math> הוא מקור ל<math>a</math>. כעת נניח שקיימת פונקציה על <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת <math>g: A\to B</math> כך ש<math>f\circ g = \mbox{Id}_{A}</math>. נניח ש<math>g(a_1) = g(a_2)</math>, אז <math>a_1 = f(g(a_1)) = f(g(a_2)) = a_2</math>.}}

 

[[קטגוריה:תורת הקבוצות|פונקציות]]