תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
שיניתי את העיצוב |
||
שורה 12:
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
{{טענה|
מספר=|
הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות {{x},{x,y}} ו-{{a},{a,b}}. לכן, הקבוצה {a} שווה לקבוצה {x} או לקבוצה {x,y}. כיוון שבאחת יש 2 איברים (אם לא, אז במקרה ש-x=y, הטענה נכונה בהכרח), x=a בהכרח.▼
שם=|
תוכן=<math>(a, b) = (x, y)</math> אם ורק אם <math>a = x</math> וגם <math>y = b</math>}}
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם a שונה מ-b, אז בהכרח: (a,b) שונה מ-(b,a). כלומר, יש חשיבות לסדר.▼
▲הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות {{x},{x,y}} ו-{{a},{a,b}}. לכן, הקבוצה {a} שווה לקבוצה {x} או לקבוצה {x,y}. כיוון שבאחת יש 2 איברים (אם לא, אז במקרה ש-x=y, הטענה נכונה בהכרח), x=a בהכרח. מכאן, שהקבוצה {x,y} שווה לקבוצה {a,b}, ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים y=b. כנדרש.
▲נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם <math>a</math> שונה מ-<math>b</math>, אז בהכרח: <math>(a, b)</math> שונה מ-<math>(b, a)</math>. כלומר, יש חשיבות לסדר.
==המכפלה הקרטזית==
שורה 41 ⟵ 45:
</center>
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה <math>A</math> בעצמה <math>n</math> פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות <math>\ A^n</math>.
שורה 47 ⟵ 51:
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך כלל לא יתקיים ש-
# הקבוצות <math>A\times \left( B\times C\right)</math>, <math>\ \left( A\times B\right) \times C</math>, <math>A\times B\times C</math> שונות זו מזו.
# <math>A\times \left( B\cup C\right) = A\times B \cup A\times C</math>
| |||