תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←פונקציית זהות: תיקנתי טעות תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
הוספתי תוכן |
||
שורה 12:
*היחס <math>p\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> המוגדר באמצעות <math>p(1) = 0</math> אינו פונקציה מכיוון שאינו מוגדר על כל הטבעיים.
===הרכבה של פונקציות===
אם <math>f: A\to B</math> ו-<math>g: B\to C</math> הן פונקציות אז '''ההרכבה''' שלהן <math>g \circ f: A\to C</math> מוגדרת בתור <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>.
===פונקציית זהות===
אם <math>A</math> היא קבוצה אז הפונקציה <math>\mbox{Id}_{A}: A\to A</math> המוגדרת באמצעות <math>\mbox{Id}_{A}(x) = x</math> לכל <math>x\in A</math> תיקרא '''פונקציית הזהות'''. נשים לב כי לא מתקיים בהכרח <math>\mbox{Id}_{A} = \mbox{Id}_{B}</math>: למשל הפונקציה <math>f(x) = \left| x \right|</math> היא <math>\mbox{Id}_{\mathbb{N}}</math> אבל לא <math>\mbox{Id}_{\mathbb{Z}}</math>.
שורה 19:
פונקציה חח״ע: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע''' או '''חד חד ערכית''' אם <math>f(a_1) = f(a_2)</math> גורר <math>a_1 = a_2</math>.
פונקציה על: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''על''' אם לכל <math>b\in B</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f(a) = b</math>.
פונקציה חח״ע ועל: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע ועל''' או '''חד חד ערכית ועל''' אם היא חד חד ערכית וגם על.
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''' של <math>f</math>,
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מוגדרת בתור <math>f^{-1} = \left\{b, a) | f(a) = b \right\}</math>. בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1} = \mbox{Id}_{B}</math> ו-<math>f^{-1}\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>
(הערה: באופן תיאורטי רק לפונקציות חח״ע ועל יש הופכית. למרות זאת אפשר במובן מסיום להגדיר הופכית לפונקציה שאינה חח״ע ועל על ידי שינוי התחום והטווח.)
{{הגדרה|
שורה 38:
שם=|
תוכן=אם <math>f:A\to B</math> ו-<math>g: B\to C</math> הן פונקציות חח״ע ועל אז גם ההרכבה <math>g\circ f: A\to B</math> היא חח״ע ועל.}}
{{הוכחה|
חח״ע: יהי <math>a_1,a_2\in A</math> כך ש-<math>(g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)</math>. מכיוון ש-<math>g</math> חח״ע <math>f(a_1) = f(a_2)</math>. מכיוון ש-<math>f</math> חח״ע <math>a_1 = a_2</math>.
על:יהי <math>c\in C</math>. מכיוון ש-<math>g</math> על קיים <math>b\in B</math> כך ש-<math>g(b) = c</math>. מכיוון ש-<math>f</math> על קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f(a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g(b) = c</math>.}}
{{הגדרה|
שורה 51:
שם=|
תוכן=אם <math>A</math>
{{משפט|
שורה 58:
שם=|
תוכן= לכל <math>A</math>, לא קיימת פונקציה על מ-<math>A</math> ל-<math>2^A</math>}}
{{הוכחה|נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f</math> שהיא על. ניצור תת קבוצה <math>Z = \left\{x | x\not \in f(x) \right\}</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>z</math> כך ש<math>f(z) = Z</math>. כעת, האם <math>z\in Z</math>? אם כן, אז על פי הגדרת <math>Z</math> מתקיים <math>z\not \in Z</math> בסתירה לכך ש<math>z\in Z</math>. אם <math>z\not \in Z</math> אז <math>z\not \in f(z)</math> ולכן <math>z\in Z</math>.}}
{{הגדרה|
מספר=1.8|
שם=מכפלה קרטזית כללית|
תוכן=יהי <math>\Lambda</math> קבוצה כלשהי כך שיש פונקציה חח״ע ועל מ-<math>\Lambda</math> לאוסף קבוצות <math>A = \left\{A_\lambda | \lambda\in \Lambda \right\}</math>. כעת נגדיר את המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda</math> בתור <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda = \{ f: \Lambda\to \bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda | \forall \lambda: f(\lambda)\in A_\lambda\}</math>.}}
{{משפט|
שורה 67 ⟵ 74:
שם=|
תוכן= יהי <math>f: A\to B</math>. אם <math>f</math> חח״ע, קיימת פונקציה <math>g:A\to B</math> כך ש-<math>g\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>.
אם <math>f</math> על, אז קיימת פונקציה <math>g</math> כך ש-<math>f\circ g = \mbox{Id}_{B}</math>.}}
{{הוכחה|נניח כי <math>f</math> חח״ע. יהי <math>a\in A</math>(ההוכחה במקרה ש-<math>A = \emptyset</math> נשארת כתרגיל לקורא), כעת נגדיר את <math>g</math> בתור <math>g(x) = \left\{\begin{matrix} x & \exists y\in A: f(y) = x \\ a & \forall y\in A: f(y) \not = x\end{matrix}\right.</math>. נגדיר <math>f(x) = y</math>, אז <math>(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x</math>.
כעת נניח כי <math>f</math> על. לכל <math>y\in B</math> קיימת קבוצה לא ריקה <math>f_y = \left\{x | f(x) = y \right\}</math>, ולכל קבוצה כזו נבחר ״נציג״ <math>x_0</math> ונגדיר <math>g(y) = x_0</math>. כעת <math>(f\circ g)(y) = f(g(y)) = f(x_0) = y</math>. בהוכחה זו השתמשנו באופן מובלע [[תורת הקבוצות/אקסיומת הבחירה|באקסיומת הבחירה]].}}
שורה 78 ⟵ 85:
שם=|
תוכן=לכל <math>A</math> ו<math>B</math>, קיימת פונקציה חח״ע מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אם ורק אם קיימת פונקציה על מ-<math>B</math> ל-<math>A</math>.}}
{{הוכחה|נניח שקיימת פונקציה חח״ע <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת פונקציה <math>g: B\to A</math> כך ש<math>g\circ f = \mbox{Id}_{A}</math>. יהי
| |||