חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Atavory (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
הוספתי תוכן
שורה 11:
{{להשלים}}
 
מהגדרת הגבול <math>\forall \varepsilon > 0\exists N_{A}, N_{B}\forall n > N_{A} \left|a_n - A \right| < \varepsilon \and \forall m > N_{B} \left|b_n - B \right| < \varepsilon</math>
מהגדרת הגבול,
< dr/>
<math dir = "ltr"> \forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon</math><br>
#אם <math>c = 0</math> אז הטענה נכונה באופן טריוויאלי. אחרת נבחר <math>\varepsilon_0 = \frac{\varepsilon}{c}</math>, אז <math>\exists N\forall n > N \left|a_n - A \right| < \varepsilon_0 \Rightarrow c\left|a_n - A \right| < \varepsilon \Rightarrow \left|c(a_n - A) \right| < \varepsilon</math>
<math dir = "ltr"> \forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert b_n - B \vert < \epsilon</math>
#יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נבחר כעת <math>f = \operatorname{max} (n, m)</math> אז על פי הגדרת הגבול <math>\forall g > f \left|a_g - A \right| < \frac{\varepsilon}{2} \and \left|b_g - B \right| < \frac{\varepsilon}{2}</math>, כלומר <math>-\frac{\varepsilon}{2} < a_g - A < \frac{\varepsilon}{2} \and -\frac{\varepsilon}{2} < b_g - B< \frac{\varepsilon}{2}</math>, כלומר <math>-\varepsilon < a_g - A + b_g - B < \varepsilon \Rightarrow \left|a_g + b_g - A - B \right| < \varepsilon</math>
#אם <math dir = "ltr">\displaystyle c = 0</math>, אז הטענה נכונה טריביאלית. אחרת, ניקח <math dir = "ltr">\displaystyle \epsilon' = \epsilon / c</math>. אז <math dir = "ltr"> \exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon' \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N}c \ \vert a_n - A \vert < \epsilon \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N} \vert c \ a_n - c \A \vert < \epsilon</math>
#{{להשלים}}
#{{להשלים}}
#{{להשלים}}
#נובע משילוב שתי הנקודות הקודמות עם <math dir = "ltr">\displaystyle c = -1</math> בנקודה הראשונה.
 
}}}}