תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

אם <math>A</math> היא קבוצה אז הפונקציה <math>\mbox{Idid}_{A}: A\to A</math> המוגדרת באמצעות <math>\mbox{Idid}_{A}(x) = x</math> לכל <math>x\in A</math> תיקרא '''פונקציית הזהות'''. נשים לב כי לא מתקיים בהכרח <math>\mbox{Idid}_{A} = \mbox{Idid}_{B}</math>: למשל הפונקציה <math>f(x) = \left| x \right|</math> היא <math>\mbox{Idid}_{\mathbb{N}}</math> אבל לא <math>\mbox{Idid}_{\mathbb{Z}}</math>.

<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מוגדרת בתור <math>f^{-1} = \left\{b, a) | f(a) = b \right\}</math>, כלומר אם <math>f(a) = b</math> אז <math>f^{-1}(b) = a</math>. בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1} = \mbox{Idid}_{B}</math> ו-<math>f^{-1}\circ f = \mbox{Idid}_{A}</math>

תוכן= יהי <math>f: A\to B</math>. אם <math>f</math> חח״ע, קיימת פונקציה <math>g:A\to B</math> כך ש-<math>g\circ f = \mbox{Idid}_{A}</math>.

אם <math>f</math> על, אז קיימת פונקציה <math>g</math> כך ש-<math>f\circ g = \mbox{Idid}_{B}</math>.}}

{{הוכחה|נניח שקיימת פונקציה חח״ע <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת פונקציה <math>g: B\to A</math> כך ש<math>g\circ f = \mbox{Idid}_{A}</math>. יהי

<math>a\in A</math>, אז <math>g(f(a) = a</math>, ולכן <math>f(a)</math> הוא מקור ל<math>a</math>. כעת נניח שקיימת פונקציה על <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת <math>g: A\to B</math> כך ש<math>f\circ g = \mbox{Idid}_{A}</math>. נניח ש<math>g(a_1) = g(a_2)</math>, אז <math>a_1 = f(g(a_1)) = f(g(a_2)) = a_2</math>.}}