חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

שיניתי את הגופן
אין תקציר עריכה
(שיניתי את הגופן)
{{הוכחה|
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>, כלומר לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N_0</math> כך שלכל <math>\ n> N</math> מתקיים <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>.
לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \max \left\{ N_0, n_0 \right\}</math>, ואז לכל <math>\ n > N</math> יתקיים -
<center><math>\ \left| b_n - L \right| = \ \left| a_{n+p} - L \right| < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}b_n = L</math>
נסתכל על קבצות האיברים בסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> כיוון ש<math>\ N</math> הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב-<math>\ M</math> ואת האיבר הקטן ביותר ב<math>\ m</math>.
 
כל אברי הסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> מקיימים <math>\ a_n \le M</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n < L+1</math> ולכן הסדרה חסומה מלעיל על ידי <math>\ max \left\{ M, L + 1 \right\}</math>.
 
כל אברי הסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> מקיימים <math>\ a_n \ge m</math> ויתר אברי הסדרה מקיימים <math>\ a_n > L-1</math> ולכן הסדרה חסומה מלרע על ידי <math>\ min \left\{ m, L - 1 \right\}</math>.
 
הראנו כי הסדרה חסומה מלעיל ומלרע ולכן הסדרה חסומה.