ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
ראינו שגבולות צצים כאשר אנחנו מעוניינים לחשב את המשיק לפונקציה. אין זה מקרי. אנחנו נראה כי למעשה כל מה שנפתח מעתה ואילך יתבסס על מושג הגבול. בפרק זה ניתן הגדרה לא מדויקת למושג הגבול ונפתח שיטות נומריות וגרפיות לחישובו.
 
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
 
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f\left( x \right)</math> מתקרבת ל-4]]
שורה 7:
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>f\left( x \right)</math>
! <math>x</math>
! <math>f\left( x \right)</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 38:
|}
 
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרובה ל-2, <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-4. למעשה, נראה שאנחנו יכולים לגרום ל-<math>f\left( x \right)</math> להיות קרובה ככל שנרצה ל-4 אם נבחר את <math>x</math> להיות קרוב דיו ל-2. אנחנו כותבים זאת מתמטית באופן הבא:
 
<math>\lim_{x \to 2}x^2=4</math>
שורה 51:
 
 
שימו לב כי ההגדרה אומרת <math>x \ne a</math>. משמע, בחיפוש הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, אנחנו לא מתייחסים למקרה <math>x=a</math>. למעשה, <math>f(x)</math> כלל לא צריכה להיות מוגדרת בנקודה <math>a</math>. הדבר היחיד שמשנה הוא ש-<math>f</math> מוגדרת ליד <math>a</math>, כלומר בסביבה של <math>a</math>. למשל, היינו יכולים להגדיר את הפונקציה הנ"ל כך: <math>f\left( x \right) = \frac{{x^2 \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}</math>. לכאורה, לא שינינו כלל את הפונקציה. לכאורה, עבור כל <math>x</math> שהוא, יצטמצם הגורם <math>x-2</math> מהמונה והמכנה ונקבל את אותה התוצאה אילו הפונקציה הייתה מוגדרת כמו מקודם. אבל, כעת המקרה <math>x=2</math> הוא אינו מוגדר שכן הוא מביא לערך של אפס במכנה. למרות שתחום ההגדרה של הפונקציה לא כולל כעת את <math>x=2</math>, הגבול בנקודה זו נשאר כפי שהיה קודם לכן, זאת מכיוון שאנחנו מסתכלים על ערכי הפונקציה בסביבה של 2 ואין זה מעניין אותנו מהו ערכה ב-2 או האם היא בכלל מוגדרת ב-2. ערכה ב-2 יכול להגיע מבחינתנו למיליון, אך הגבול ישאר כפי שהוא.
 
ראוי לציין כי ההגדרה הנ"ל לגבול היא מעורפלת במקצת וכי בהמשך ניתן הגדרה מדויקת יותר לגבול.
 
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac{{\sin (x)}}{x}</math>.
 
תשובה: נשים לב כי הפונקציה לא מוגדרת כאשר <math>x=0</math>, אבל כאמור, אין זה מפריע לנו. נבנה טבלת ערכים כדי לראות לאן הפונקציה שואפת כאשר <math>x</math> שואף ל-0. ערכי הפונקציה יהיו זהים עבור ערכי x אשר שווים עד כדי סימן מכיוון שגם הפונקציה במונה וגם הפונקציה במכנה הן פונקציות אי-זוגיות וסימני המינוס מבטלים זה את זה.
 
[[תמונה:Sinxx.PNG|left|thumb|250px|הפונקציה <math>\frac{{\sin (x})}{x}</math> בסביבת <math>x=0</math>]]
בסביבת <math>x=0</math>]]
 
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\frac{{\sin (x})}{x}</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 83 ⟵ 82:
|}
 
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו מנחשים כי <math>\lim_{x \to 0}\frac{{\sin (x})}{x}=1</math>. לגבול זה תהיה חשיבות רבה בהמשך ורוב מסקנותינו לגבי הפונקציות הטריגונומטריות יתבססו עליו. בפרק הנגזרות הוא יוכח באופן מלא ונראה כי הניחוש שלנו הוא אכן נכון.
 
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>, אם קיים.
\sin \frac{1}{x}</math>, אם קיים.
 
תשובה: גם פונקציה זו אינה מוגדרת עבור <math>x=0</math>. נעריך את ערך הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים ל-0 ונקבל:
 
[[תמונה:Sin1x.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה <math>\sin \left(\frac{1}{x}\right)</math> בסביבת <math>x=0</math>]]
 
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\sin \left(\frac{1}{x}\right)</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 113 ⟵ 111:
|}
 
זה אולי נראה מפתה לנחש <math>\sinlim_{x \to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0</math> אבל זוהי '''טעות'''! בהסתכלות על גרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרוב לאפס, ערכי הפונקציה "מתנדנדים" בין 1 לבין 1- ואינם שואפים למספר כלשהו. ערך הפונקציה, למשל, עבור <math>x=0.0002</math> הוא בקירוב 0.98797- , בהחלט לא קרוב לאפס כמו ערך הפונקציה עבור <math>x=0.0001</math> או <math>x=0.01</math>. מכיוון שערכי הפונקציה אינם מתקרבים לשום ערך ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, אנחנו קובעים בזאת: הגבול <math>\lim_{x \to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> אינו קיים.▼
זה אולי נראה מפתה לנחש <math>\lim_{x \to 0}
▲\sin \frac{1}{x}=0</math> אבל זוהי '''טעות'''! בהסתכלות על גרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרוב לאפס, ערכי הפונקציה "מתנדנדים" בין 1 לבין 1- ואינם שואפים למספר כלשהו. ערך הפונקציה, למשל, עבור <math>x=0.0002</math> הוא בקירוב 0.98797- , בהחלט לא קרוב לאפס כמו ערך הפונקציה עבור <math>x=0.0001</math> או <math>x=0.01</math>. מכיוון שערכי הפונקציה אינם מתקרבים לשום ערך ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, אנחנו קובעים בזאת: הגבול <math>\lim_{x \to 0}
\sin \frac{1}{x}</math> אינו קיים.
 
בדוגמה זו ראינו כי שיטת הניחוש שלנו היא מסוכנת במקצת ובמקרים מסוימים, יכולה אף להטעות. בהמשך, נלמד להשתמש בכלים אמינים יותר לחישוב גבולות.
 
==גבולות חד-צדדיים==
 
[[תמונה:Heaviside.PNG|left|thumb|250px|הגרף של פונקצית הביסייד]]
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה_הלא_מדויקת_של_הגבול"