חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

פונקציה היא יחס המקיים שעבור כל איבר בתחום ישנו איבר אחד ויחיד בטווח המותאם לו. באופן לא -פורמלי, אנחנו יכולים לחשוב על '''פונקציה''' כעל מכונה, כמו מכונה להכנת נקניקיות. מכונה להכנת נקניקיות, מקבלת בשר ונותנת נקניקיות; פונקציות, בדרך-כלל, מקבלות מספר מסוייםמסוים ונותנות מספר אחר. המספרים נכנסים לתוך החלק הממוסגר (המוקף בסוגריים) של <math>\ f(x)</math>. ה-x בסוגריים מסמל כל מספר שאתה רוצה להכניס לפונקציה, ובגללוכיון ש-x יכול לקבל כל ערך, הוא נקרא המשתנה הבלתי -תלוי. עכשיו נחליף את כל ה-x-ים בצד ימין של סימן השוויון בערך שהכנסנו, בשביל לקבל את הערך של המשתנה התלוי, התוצר. כדי להגדיר פונקציה אנחנו כותבים:</br>

<div align=left><math>f(x) = 3x+2\,</math></div></br>

הכוונה היא ש-<math>\ f</math> היא הפונקציה שבהנתן מספר מסוייםמסוים, תחזיר את ''הסכום של שלוש פעמים המספר עם שתיים''. על-פי הגדרתנו דלעיל, <math>\ f(2)</math> תחזיר:</br>

<div align=left><math>f(2) = 3\times2+2 = 6+2= 8\ </math></div></br>

נשים לב שב-<math>\ f(2)</math> הכוונה היא לערכו של המשתנה התלוי כאשר הערך של x הוא 2. אז, אנו רואים שהמספר 8 הוא התוצר של הפונקציה כשאנו מכניסים את המספר 2. אנחנו קוראים לערך שאנו מכניסים ה'''ארגומנט''' של הפונקציה (או '''המשתנה הבלתי -תלוי'''), ולתוצר אנו קוראים ה'''ערך''' של הפונקציה (או '''המשתנה התלוי'''). אז אנו יכולים להגיד ש"הערך של <math>\ f(2)</math> הוא 8", או "<math>\ f</math> של 2 שווה ל-8".</br>

למרות שאין חוקים נוקשים לשם שניתן לפונקציה, מנהג נפוץ הוא השימוש באותיות ''f'', ''g'' ו-''h'' לסימון פונקציות, ובמשתנה ''x'' לסימון המשתנה הבלתי -תלוי.

#לכל פונקציה יש קבוצה מסויימתמסוימת של ערכים שניתן להכניס אליה. אולי הקבוצה הזו היא קבוצת כל המספרים החיוביים הממשיים; אולי זו הקבוצה {המבורגר, כבד אווז, בירה}. הקבוצה הזו נקראת ה'''תחום''' של הפונקציה. כאשר אנו נותנים לפונקציה אלמנט כלשהו מהתחום, הפונקציה תחזיר לנו ערך. אנחנו לא יכולים לתת לפונקציה ערכים שלא נמצאים בתחום.</br> {{ש}}
לדוגמא, אם הפונקציה הנתונה היא <math>f(x) = \frac{1}{x-2}</math>, התחום הוא כל המספרים הממשיים מלבד המספר 2, מכיוון ש-<math>\ f(2)</math> לא קיימת (חלוקה ב-0 אינה מוגדרת).

#כל אלמנט מהתחום של הפונקציה יתן לנו ערך יחיד. לצורך העניין, נניח שברצוננו להגדיר פונקציה, <math>\ f(x)</math> שתחזיר את השורש המרובע של הארגומנט שלה. עוד נניח שתחומה הוא "כל המספרים הממשיים החיוביים". דבר זה לא יהיה אפשרי, מכיוון שלא תהיה זו באמת פונקציה. זאת משום שעבור ארגומנט נתון ''x'' יש יותר מערך אחד אפשרי עבור <math>\ f(x)</math>. לדוגמא, אם ''x'' היה 4, אז <math>\ f(x)</math> היה יכול להיות 2 או 2-. ישנם שני שורשים ריבועיים ל-4.

מבחן הקו הישר הוא מבחן שיטתי הנועד לענות על השאלה האם ביטוי מסוייםמסוים יכול לשמש כפונקציה. פשוט, שרטט את הביטוי ומתח אנך לאורך כל נקודה בתחום היחס; אם האנך נוגע ביותר מנקודה אחת עבור כל ארגומנט, זו אינה פונקציה; אם הוא נוגע בערך אחד ויחיד אז זוהי פונקציה. עלינו לציין שמשמעות המילה פונקציה לפעמים מורחבת בכדי לכלול את המקרים של גרף עם יותר ממשתנה אחד. אלו הן פונקציות מרובות משתנים. בהקשר זה המבחן שתואר זה עתה יגלה אם פונקציה מסויימתמסוימת היא חד-חד-ערכית או לא. ראה את הקטע על פונקציות חד-חד-ערכיות בהמשך.

השימוש בפונקציות הוא כל-כך נרחב עד שנוצרו סימונים מיוחדים להן; הסימונים הם מעט מעורפלים לעיתים, ולכן היכרות איתם חשובה על-מנת להבין את הכוונה של שוויון או נוסחה.</br>{{ש}}

כאשר מתייחסים לפונקציה מסויימת <math>\ f</math>, אנו בדרך-כלל מעוניינים לדעת מהו המשתנה הבלתי -תלוי שלה ''x''. לכן, כשאנו מתכוונים לפונקציה <math>\ f</math>, בדרך-כלל לא נכתוב <math>\ f</math>, אלא <math>\ f(x)</math>. הפונקציה שאליה אנו מתייחסים עתה היא "<math>\ f</math> של ''x''". כך, המשתנה הבלתי -תלוי עכשיו מוסף למשתנה התלוי - רוצה לומר, הכוונה עתה היא שאנו מעוניינים לדעת מהם שני המשתנים. כתיב זה שימושי כאשר ברצוננו לדעת את ערכה של הפונקציה בהנתן משתנה מסוייםמסוים. לדומא, אם הפונקציה היא:</br>

<div align=left><math>f(x) = 3x+2\,</math></div></br>

ואם אנו רוצים לדעת את ערכה של <math>\ f</math> עבור ''x'' השווה ל-2, אז אנו נחליף את ''x'' ב-2 בשתי האגפים של הפונקציה המוגדרת דלעיל, ונכתוב:</br>

<div align=left><math>f(2) = 3\times2+2 = 6+2= 8\ </math></div></br>

הסימון דלעיל הרבה יותר אינפורמטיבי לעומת השמטת המשתנה הבלתי -תלוי וכתיבת '<math>\ f</math>', אך עדיין יכול להיות מעורפל מכיוון שהסוגריים יכולים להיות מפורשים ככפל. עקביות בסימון משפרת באופן ניכר את בהירותו של טקסט מתמטי.

אפשרי הדבר להחליף את המשתנה הבלתי -תלוי בכל ביטוי מתמטי, לא רק מספרי. לדוגמא, אם המשתנה הבלתי -תלוי הוא בעצמו פונקציה אז הוא יכול להיות ערכה של זו הפונקציה. פעולה זאת נקראת הרכבה והיא מוסברת בהמשך.

בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה קיימת בהקשר של משתנים שאינם פונקציות. ערכה של פונקציה <math>\ f</math> תלוי בערכו של המשתנה <math>\ x</math>; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לתוצר של פונקציה אחרת <math>\ g</math> שפעלה בתורה על משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז התוצר של המשתנה השלישי על -ידי הפעולה המשולבת של <math>\ f</math> ו-<math>\ g</math> הוא פונקציה <math>\ h</math> של המשתנה השלישי; פונקציה זו <math>\ (h)</math> נקראת ה'''הרכבה''' של שתי הפונקציות האחרות <math>\ (f, g)</math>. ההרכבה מסומנת על-ידי

</div>קרי: "ההרכבה של <math>\ f</math> עם <math>\ g</math>".

כאן, <math>\ h</math> היא ההרכבה של <math>\ f</math> ו-<math>\ g</math>. נשים לב כי ההרכבה אינה חילופית (קומוטטיבית):

הרכבות של פונקציות מאוד נפוצות בשל השימושים הרבים שקיימים לפונקציות באופן כללי. לדוגמא: חיבור, כפל וכד', יכולים להיות מבוטאים כפונקציות של יותר ממשתנה אחד בלתי -תלוי:

ומכיוון שהפונקציה ''times'' שווה ל-6 אם <math>\ y=3</math> ו-<math>\ x=2</math> אז

ומכיוון שהפונקציה ''plus'' שווה ל-10 אם <math>\ y=4</math> ו-<math>\ x=6</math> אז

אז <math>\ f(x)</math> מוגדרת רק עבור ה-''x''-ים הנמצאים בין 1 ל-1-, מכיוון שפונקציית השורש הריבועי אינה מוגדרת (במספרים ממשיייםממשיים) עבור ערכים שליליים. לכן, התחום, בסימון מרווחים, הוא <math>\left[-1,1\right]</math>. במילים אחרות:

אז <math>\ f(x)</math> יכולה להיות שווה אך ורק לערכים הנמצאים באינטרוול מ-<math>\ 0</math> ל-<math>\ 1</math>. לכן, הטווח של <math>\ f</math> הוא <math>\left[0,1\right]</math>.

פונקציה, <math>\ f(x)</math>, היא '''חד-חד-ערכית''' (או פחות נפוץ, '''אינג'קטיבית''') אם, לכל ערך של <math>\ f</math>, יש רק ערך אחד של x שמתאים לערך המסוייםהמסוים הזה של <math>\ f</math>. לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math> היא לא חד-חד-ערכית, מכיוון שעבור <math>x=1</math> וגם עבור <math>x=-1</math> התוצאה היא <math>\ f(x)=0</math>. אך, הפונקציה <math>\ f(x)=x+2</math> היא חד-חד-ערכית מכיוון שעבור כל ערך אפשרי של <math>\ f(x)</math> (או <math>y</math>), יש בדיוק ערך אפשרי אחד של <math>x</math> (והוא <math>y-2</math>) שיגרום ל-<math>\ f(x)</math> להיות y.

לפונקציה <math>\ f(x)</math> יש פונקציה הופכיתהפכית ''אם ואך ורק אם'' <math>\ f(x)</math> היא חד-חד-ערכית. עבור <math>\ f(x)</math> ו-<math>\ g(x)</math> כך ש-<math>\ g(x)</math> היא ההופכיתההפכית של <math>\ f(x)</math> מתקיים:

.<math>\ g(f(x))=f(g(x))=x</math>

לדוגמא, ההפכי של <math>\ f(x)=x+2</math> היא <math>\ g(x)=x-2</math>. לפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math> אין פונצקיהפונקציה הופכיתהפכית.

הפונקציה ההופכיתההפכית של <math>\ f(x)</math> מסומנת כ-<math>\ f^{-1}(x)</math>.

לפעמים קשה להבין את ההתנהגות של פונקציה הנתונה כהגדרה בלבד; ייצוג ויזואלי או גרף יכולים לסייע. '''גרף''' הוא קבוצה של נקודות במישור הקרטזי, כאשר כל נקודה <math>\ (x,y)</math> מצהירה ש-<math>\ f(x)=y</math>. במילים אחרות, גרף משתמש במיקומה של נקודה בכיוון אחד (''הציר האנכי'' או ''ציר ה-y'') בשביל לציין את הערך של <math>\ f</math> עבור מיקום של הנקודה בכיוון אחר (''הציר המאוזן'' או ''ציר ה-x'').

אפשר לשרטט פונקציה על-ידי מציאת ערכה של <math>\ f</math> עבור x-ים שונים ולשרטט את הערכים <math>\ (x,f(x))</math> במישור הקרטזי. מכיוון שהפונקציות שאתן נתעסק הן בדרך-כלל רציפות (ראה למטה), החלק הריק של הפונקציה בין הנקודות המשורטטות יכול להיות מוערך בקירוב ע"י שרטוט קו או עקום בין הנקודות.

הרחבה של הפונקציה מעבר לנקודות ששרטטנו אפשרית, אך נעשית לא מהימנתמהימנה ככל שהרחבה זו נמשכת (או פשוט שגויה אם התנהגותה של הפונקציה משתנה).</br>{{ש}}

.<math>f(x)=\frac{a\over }{b}x</math>

בהנתן ש-b אינו 0, הגרף של <math>\ f</math> הוא קו ישר, העובר דרך הנקודות <math>\ (0,0)</math>, <math>\left(\frac{b\over }{a},1\right)</math> ו-<math>\ (b,a)</math>. לכן, אחרי שרטוט שלושת הנקודות הללו, ניתן להשתמש בסרגל בכדי לשרטט את הקו ארוך ככל שנרצה.

רוב הפונקציות שנהיהבהן מעוניינים בהןנתעניין בקורס הזה אינן גיבוב אקראי של נקודות על הדף, אלא פונקציות מסוג פשוט יחסית הנקראות "פונקציות רציפות". ניתן לאפיין פונקציות כאלו בצורה אינטואיטיבית על -ידי כך שבגרף שלהן אין מרווחים פתאומיים (חורים) וניתן לצייר אותן מבלי להרים את העפרון מהדף. גם פונקציות שמורכבות ממספר עקומות רציפות שכאלו יעניינו אותנו. מאוחר יותר בספר, מושג הרציפות יוגדר באופן פורמלי על-ידי שימוש במושג הגבול, שהוא המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי.

**חוק החילוף (הקומוטטיביות): <math>\ a+b=b+a</math>.

**חוק הקיבוץ (האסוציאטיביות): <math>\ ((a+b)+c)=(a+(b+c))</math>.

**זהות החיבור: <math>\ a+0=a</math>.

**ההופכי ביחס לחיבור: <math>\ a+(-a)=0</math>.

**הגדרה: <math>\ a+(-a)=0</math>.

<math>\frac{(x+2)(x+3)}{x+3}=</math><BR>{{ש}}

<math>=\left(([(x+2)\times (x+3))]\times \left(\frac{1}{x+3}\right)\right)=</math><BR>{{ש}}

<math>=((x+2)\times ((x+3)\times \left(\frac{1}{x+3}\right)))=</math><BR>{{ש}}

<math>=((x+2)\times (1))\,=</math><BR>{{ש}}

הוא תהליך הרבה יותר ארוך מאשר ביטול הביטוי x+3 במכנה ובמונה, זה חיוני להבין את השיטה הארוכה יותר. לעיתיםלעתים קרובות, אנשים עושים את הפעולות הבאות, לדוגמא, אשר אינן נכונות:

:<math>\frac{2\times (x + 2)}{2}=\frac{2}{2}\times \frac{x+2}{2}=\frac{x+2}{2}</math>.

:<math>\frac{2\times (x + 2)}{2}=x+2</math>,