חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

▲פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x\to x_{_0}} f(x)=f(x_0)</math>.{{ש}}

▲פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math>.

▲נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math>. נראה כי <math>\lim_{x\to2} f(x)=4 </math> אבל <math>f(2)</math> לא מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

▲תהי פונקציה שלא רציפה ב- <math>x_0</math>. נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

▲*נק' אי רציפות '''סליקה''' (או מסוג 0) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0} f(x)</math> אך הוא שונה מ- <math> f(x_0)</math>. דוגמה לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה x=2 נק' אי רציפות סליקה.

▲*נק' אי רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x \to x_0^+} f(x_0) , \lim_{x\to x_0^-} f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמה לכך היא פונקצית הסימן, <math>sign(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}</math>. הנקודה x=0 היא נק' אי רציפות מסוג ראשון כיוון שהגבול החד צדדי מהצד השלילי הוא 1- אבל הגבול החד צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0^+}sign(x)=1</math> והרי 1 ו- 1- שונים.

▲*נק' אי רציפות מסוג שני- כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים במובן הצר

▲עפ"י הגדרת הרציפות, <math>f(x)</math> נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים <math>\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_x(|x-x_0|<\delta\rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon)</math>.{{ש}}

▲כלומר, לכל מרחק שיתנו לי, קיימת סביבה מספיק קטנה של <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה הזאת, <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ- <math>f(x_0)</math> עד כדי המרחק שנתנו לי.

▲אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>I</math> אם לכל מרחק שיתנו לי, אני יכול למצוא אורך סביבה מספיק קטן שיתאים לכל <math>x_0</math> בקטע כך שהגדרת גבול הרציפות תתקיים. בעצם זה אומר שלכל שתי נקודות שאקח עם מרחק קטן מאותו אורך סביבה מספיק קטן, המרחק בין הערכים שלהם על הפונקציה יהיה קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר).זאת אומרת: <math>\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x_1,x_2 \in I}(|x_1-x_2|<\delta\rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon)</math>{{ש}}