|
<math>\rm \neg\exists a,b,c,n \in \N : c\perp(b > 1) : \sqrt[{\rm n}]{\rm a} = \frac{c}{b}</math>
לאמר: לא קיימים [[w:מספר טבעי|מספרים טבעיים]] <math>\rm a,b,c,n</math> כך שיתקיים שוויון <math>\sqrt[{\rm n}]{\rm a}= \rm \frac{c}{b}</math>, כאשר <math>\rm c</math> ו- <math>\rm b > 1</math> [[w:מספרים זרים|מספרים זרים]].
===[[w:הוכחה|הוכחה]]===
:1. [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיימים <math>\rm a,b,c,n</math> טבעיים כאשר <math>\rm c</math> ו- <math>\rm b > 1</math> זרים זה לזה, כך ש- <math>\sqrt[{\rm n}]{\rm a}= {\rm \frac{c}{b}}</math>.
:*מספרים <math>\rm b,c</math> זרים [[w:|אם ורק אם]] [[w:מחלק משותף מקסימלי|מחלקם המשותף המקסימל]] הוא <math>\gcd(\rm b,c) = 1</math>.
:2. נעלה את הביטוי ב-<math>\rm n</math> טבעי ונקבל <math>\rm a=\frac{c^n}{b^n} \iff a=\left(\frac{c}{b}\right)^{\rm n}</math>.
:3.
::א. במשוואה <math>,a\rm b^n = c^n</math> לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים [[w:מספר ראשוני|ראשוני]] <math>\rm p</math> כך ש- <math>\rm p|b^n</math>.
::ב. לפי [[w:הלמה של אוקלידס|לֵמַת אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה''', כך <math>\iff \rm p|a_1a_2 \cdots a_n</math> {{כ}} <math>\rm p|a_1</math> או <math>\rm p|a_2</math> או <math>\cdots</math> או <math>\rm p|a_n</math>.
:::לפיכך <math>.\rm p|b \iff p|\overbrace{\rm b\cdot b\cdots b}^n</math>
:4. אך מן השוויון <math>a\rm b^n = c^n</math> נובעת גרירה <math>{\rm p|c^n \iff p}|a{\rm b^n}</math>. מלֵמַת אוקלידס הנ"ל נקבל גם את הגרירה <math>\rm p|c \iff p|\overbrace{\rm c\cdot c\cdots c}^n</math>.
:5. קיבלנו ש- <math>\rm p|b</math> וגם <math>\rm p|c</math>, כך שהמחלק המשותף המקסימל שלהם הוא עתה <math>\gcd(\rm b,c) = p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. '''''סתירה'''''.
לכן לא קיים שוויון כזה. [[w:משל|מ.ש.ל]]. ■
| 