תורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקנתי שגיאה |
הוספתי תוכן |
||
שורה 5:
#קיום: לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש<math>aRb</math>.
#יחידות: אם <math>aRb_1</math> ו<math>aRb_2</math> אז <math>b_1 = b_2</math>.
במקרה כזה <math>A</math> ייקרא '''התחום''' של הפונקציה ואילו <math>B</math> ייקרא '''הטווח''' של הפונקציה ומסמנים זאת כך: <math>R: A\to B
===דוגמאות===
* היחס <math>f\subseteq \mathbb{R}^2</math> המוגדר על ידי <math>f(x) = x + 1</math> הוא פונקציה.
שורה 23:
פונקציה חח״ע ועל: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע ועל''' או '''חד חד ערכית ועל''' אם היא חד חד ערכית וגם על.
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''', אם קיימת, של <math>f</math>,
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מוגדרת בתור <math>f^{-1} = \left\{b, a) | f(a) = b \right\}</math>, כלומר אם <math>f(a) = b</math> אז <math>f^{-1}(b) = a</math>. בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1} = \mbox{id}_{B}</math> ו-<math>f^{-1}\circ f = \mbox{id}_{A}</math>. הגדרה זו דומה למדי ליחס ההפוך אך לפונקציה לא בהכרח קיימת הופכית. למעשה לפונקציה קיימת הופכית אם ורק אם הפונקציה חח״ע ועל:
{{טענה|
שם=|▼
תוכן=היחס <math>f^{-1}</math> הוא פונקציה אם ורק אם <math>f</math> חח״ע ועל.}}
{{הוכחה| נניח תחילה כי <math>f</math> חח״ע ועל. נגדיר את <math>f^{-1}</math> להיות <math>f^{-1}(x)=y</math>, כאשר <math>y</math> הוא האיבר אשר מקיים <math>f(y)=x</math>. (האיבר קיים ויחיד מהחח״ע ועל של <math>f</math>)
<br>נניח כעת כי <math>f</math> הפיכה. יהי שני איברים <math>a, b</math> כך ש-<math>f(a)=f(b)</math>, אז מכיוון ש-<math>f</math> הפיכה אפשר להפעיל את <math>f^{-1}</math> על שני הצדדים ולקבל <math>a=b</math>. כעת, יהי <math>y</math> כלשהו. נבחר <math>x=f^{-1}(y)</math>, אז <math>f(x)=\left( f\circ f^{-1} \right)(y)=y</math>.}}
אם ישנה פונקציה חח״ע ועל מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אז אפשר לחשוב על הפונקציה כ״משנה את השמות״ של האברים ב-<math>A</math>, לאיברים ב-<math>B</math>, כלומר שאיברי <math>B</math> הם איברים <math>A</math> עם ״שמות שונים״. על בסיס הגיון זה נגדיר:
{{הגדרה|
שורה 31 ⟵ 41:
שם=קבוצות שקולות|
תוכן=נגדיר קבוצות <math>A</math> ו<math>B</math> כ'''שקולות''', ונסמן <math>A\sim B</math>, אם קיימת פונקציה <math>f: A\to B</math> שהיא חח״ע ועל.
קיימים סוגים נוספים של שקילות אך לא נדון בהם בפרק הזה, מכיוון שעצם הגדרתם דורש מושגים נוספים.
<br>כזכור, הגדרנו פונקציות באמצעות מכפלה קרטזית של שתי קבוצות. כעת נוכל להגדיר מכפלה קרטזית כללית וחזקות של קבוצות באמצעות פונקציות:
{{הגדרה|▼
תוכן=יהי <math>\Lambda</math> קבוצה כלשהי
ההיגיון מאחורי ההגדרה ה״מוזרה״ הוא כזה: המכפלה <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda}</math> היא על פי ההגדרה קבוצת כל הסדרות של איברים, כך שהמקום ה-<math>\lambda</math> בסדרה הוא איבר בקבוצה <math>A_{\lambda}</math>. מצד שני, נחשוב על כל סדרה בתור פונקציה <math>f</math> שמקבלת איבר <math>\lambda</math> ומוציאה כפלט את האיבר שנמצא במקום ה-<math>\lambda</math> בסדרה (שהוא איבר ב-<math>A_\lambda</math>). על כן, המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda</math> היא בעצם אוסף הפונקציות שמקבלות מספר ב-<math>\lambda</math> ומוציאות מספר ב-<math>A_\lambda</math>, אבל זה שקול להגדרה למעלה.
{{הגדרה|▼
מספר=1.8|
שם=חזקת קבוצות|
תוכן=אם <math>A</math> וז-<math>B</math> הן קבוצות אז נגדיר את <math>B^A=\left\{f: A\to B \right\}</math>.כלומר: אוסף כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>B</math>. כעת נבהיר את הסימון מאחורי <math>2^A</math> בתור קבוצת החזקה: אפשר לחשוב על כל תת קבוצה <math>X</math> בתור פונקציה <math>f: A\to 2</math> המוגדרת בתור <math>f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x\not \in B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right.</math> ולכן קבוצת החזקה היא קבוצת כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>2</math>, וזוהי ההגדרה של <math>2^A</math>.}}▼
גם כאן, ההגדרה נראית ״מוזרה״. אך גם לה יש הגיון רב: <math>B^A</math> הוא על פי הגדרה של חזקות <math>\prod_{a\in A} B</math>, אשר שווה על פי הגדרה 1.7 ל-<math>\{f: A\to B|\forall a\in A:f(a)\in B\}=\left\{ f: A\to B \right\}</math>, כאשר הצעד האחרון נובע מההגדרה של פונקציות.
==משפטי עזר==
למשפטים אלה אין חשיבות רבה בפני עצמם, אך הם יעזרו לנו בשאר פרקי הספר.
{{משפט|
שורה 45 ⟵ 76:
על:יהי <math>c\in C</math>. מכיוון ש-<math>g</math> על קיים <math>b\in B</math> כך ש-<math>g(b) = c</math>. מכיוון ש-<math>f</math> על קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f(a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g(b) = c</math>.}}
▲{{הגדרה|
▲מספר=1.7|
▲שם=|
▲תוכן=אם <math>A</math> וז-<math>B</math> הן קבוצות אז נגדיר את <math>B^A=\left\{f: A\to B \right\}</math>.כלומר: אוסף כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>B</math>. כעת נבהיר את הסימון מאחורי <math>2^A</math> בתור קבוצת החזקה: אפשר לחשוב על כל תת קבוצה <math>X</math> בתור פונקציה <math>f: A\to 2</math> המוגדרת בתור <math>f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x\not \in B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right.</math> ולכן קבוצת החזקה היא קבוצת כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>2</math>, וזוהי ההגדרה של <math>2^A</math>.}}
{{משפט|
שורה 61 ⟵ 85:
{{הוכחה|נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f</math> שהיא על. ניצור תת קבוצה <math>Z = \left\{x | x\not \in f(x) \right\}</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>z</math> כך ש<math>f(z) = Z</math>. כעת, האם <math>z\in Z</math>? אם כן, אז על פי הגדרת <math>Z</math> מתקיים <math>z\not \in Z</math> בסתירה לכך ש<math>z\in Z</math>. אם <math>z\not \in Z</math> אז <math>z\not \in f(z)</math> ולכן <math>z\in Z</math>.}}
▲{{הגדרה|
▲מספר=1.8|
▲שם=מכפלה קרטזית כללית|
▲תוכן=יהי <math>\Lambda</math> קבוצה כלשהי כך שיש פונקציה חח״ע ועל מ-<math>\Lambda</math> לאוסף קבוצות <math>A = \left\{A_\lambda | \lambda\in \Lambda \right\}</math>. כעת נגדיר את המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda</math> בתור <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda = \{ f: \Lambda\to \bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda | \forall \lambda: f(\lambda)\in A_\lambda\}</math>.}}
{{משפט|
| |||