מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות): הבדלים בין גרסאות בדף

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y=sin3x \sin(3x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|פונקציה מורכבת]] : <math>\ u* \cdot v = v'*\cdot u*\cdot u'</math>, כלומר, <math>\ yf(x)' =( [\sin3xsin(3x)]'\cdot (3x)'</math>. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' =cos3x* \cos(3x)\cdot 3 =3cos3x 3\cos(3x)</math>}}

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y= \sin^2x2(x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|פונקציה מורכבת]] : <math>\ u* \cdot v = v'*\cdot u*\cdot u'</math>, כלומר, <math>\ yf(x)' =([\sin(sinxx)]^2])'*\cdot [\sin(sinxx)]'</math>. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' =2sinx*cosx 2\sin(x)\cdot \cos(x)</math>. על -פי [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות|זהות]] הנגזרת של הפונקציה שווה <math>\ f(x)' =sin2x \sin(2x)</math>}}

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y= \cos^3x3(x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|פונקציה מורכבת]] : <math>\ u* \cdot v = v'*\cdot u*\cdot u'</math>, כלומר, <math>\ yf(x)' = ([cos(cosxx)]^3])'*\cdot [\cos(cosxx)]'</math>. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' = -3cos3\cos^2x*sinx2(x)\cdot \sin(x)</math>.}}

מצא את '''נקודות הקיצון''' של הפונקציה <math>\ f(x) = \cos(x^2-2x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה פונקציה מורכבת ולכן, בכדי לפתור תרגיל זה נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|פונקציה מורכבת]] : <math>\ u* \cdot v = v'*\cdot u*\cdot u'</math>, כלומר, <math>\ yf(x)' =[ ([\cos(x^2-2x)]])'*\cdot (x^2-2x)'</math>. נגזור את שתי הפונקציות ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' = -\sin(x^2-2x)*\cdot (2x-2)</math>. <br /> {{ש}}
נשווה את הפונקציה לאפס ונפתור. לפתרון מלא [[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/2011 קיץ מועד א'/שאלון 006/תרגיל 4 |לחץ כאן]]<br{{ש}} />}}

# <math>3\ 3sin4xsin(4x)</math>

# <math>\ cos(x^2)</math>

#<math>3\cos(4x)\cdot 3cos4x*4 =12cos4x 12\cos(4x)</math>

# <math>\ -sinx\sin(x^2*)\cdot 2x</math>

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y= 2x*sinx\cdot \sin(x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה '''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|מכפלה של פונקציות]]''' ולכן, נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|נגזרת של מכפלה]] : <math>\ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)</math>. נגזור ונקבל את הנגזרת :
<math>\ yf(x)' = 2*sinx\sin(x)+2x*cosx\cdot \cos(x)</math>}}

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y=sinx*cosx \sin(x)\cdot \cos(x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה '''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|מכפלה של פונקציות]]''' ולכן, נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|נגזרת של מכפלה]] : <math>\ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)</math>. נגזור ונקבל את הנגזרת :
<math>\ yf(x)' =cosx*cosx \cos(x)\cdot \cos(x) -sinx*sinx \sin(x)\cdot \sin(x) = \cos^2x2(x) - \sin^2x2(x)</math>. על -פי [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות|זהות]] הנגזרת שווה <math>\ f(x)' =cos2x \cos(2x)</math>}}

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y= \sqrt{x}*sinx\cdot \sin(x)</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה '''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|מכפלה של פונקציות]]''' ולכן, נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|נגזרת של מכפלה]] : <math>\ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)</math>. הפונקציה מורכבת מפונקציה טריגונומטרית ו[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה|פונקציה חזקה]] (נגזרתה : <math>(\sqrt{x})' = \frac{x'}\cdot {2\sqrt{x}}</math>). נגזור ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}*sinx\cdot \sin(x)+\sqrt{x}*cosx\cdot \cos(x) = \sqrt{x}\cdot \left[\frac{\sin(x)}{2x} + \cos(x)\right]</math>. }}

#<math>x\cdot x*\cos{\left(\frac{x}{2}}\right)</math>

#בפועל : <math>\ f(x)' = (x)'*(\cdot \cos{\left(\frac{x}{2}}\right) + x*(\cdot \cos{\left(\frac{x}{2}}\right)'</math> כלומר,
<math>\ f(x)' = 1*\cdot \cos{\left(\frac{x}{2}}\right) + x*\cdot -\sin{\left(\frac{x}{2}}*\right)\cdot \frac{1}{2}</math>. שמושימו לב, הנגזרת של <math>(\left[\cos{\left(\frac{x}{2}}\right)\right]' = -\sin{\left(\frac{x}{2}}*(\right)\cdot \left[\frac{x}{2})\right]'</math>. הנגזרת של <math>\frac{x}{2}</math> היא נגזרת של פונקצית מנה ולכן <math>\left[\frac{x}{2}\right]' = \frac{1*\cdot 2 - x*\cdot 0}{4} = \frac{1}{2}</math>. }}

מצא את הנגזרת של הפונקציה <math>\f(x) y= \frac{x}{cosx\cos(x)}</math>

כפי שניתן לראות הפונקציה הנ"ל הינההנה '''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|מנה של פונקציות]]''' ולכן, נעזר בכלל של [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|נגזרת של מנה]] : <math>\ left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}</math>. נגזור ונקבל את הנגזרת : <math>\ yf(x)' = \frac{cosx\cos(x)+x*sinx\cdot \sin(x)}{\cos^2x2(x)}</math>.}}

#<math>\ \sqrt{sinx\sin(x)}</math>