חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

מספר ממשי <math>\ L </math> ייקרא הגבול של סדרה <math>\ a_n</math> אם בכל סביבה של <math>\ L</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים

ומסומן <math>\ \lim_{n \to \infty}a_n = L</math> או <math>\ a_n \to L</math>

אם הגבול <math>\ L</math> קיים וסופי נאמר שהסדרה <math>\ a_n</math> מתכנסת לגבול <math>\ L </math>, אם לא קיים מספר <math>\ L </math> סופי כזה נאמר שהסדרה '''מתבדרת'''

ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסויימתמסוימת. למשל - סביבה בגודל <math>\varepsilon </math> של <math>\ L</math> מוגדרת על -ידי הקטע <math>\ \left( L - \varepsilon , L + \varepsilon \right)</math>, כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין <math>\ L</math> קטן מ-<math>\varepsilon</math>. ההגדרתההגדרה מדברת על כל סביבה של <math>\ L</math>, ומכיווןומכיון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש-<math>\ \varepsilon > 0</math>. ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איברים '''סופי''' מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל-<math>\ L</math> - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -

* <math>\ 1,2,3,\dots</math> - ניתן לראות בבירור שהסדרה הזו איננה מתקרבת למספר מסוייםמסוים, אלא הולכת וגדלה בקצב קבוע. אך לצורך הדוגמא נניח כי אנחנו חושבים שהסדרה מתכנסת למספר גדול, נניח - <math>\ 1000000</math>, עכשיו נבחן את הסדרה על -פי ההגדרה - האם בכל סביבה של <math>\ 1000000</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איברים? נתחיל מסביבה בגודל 1, כלומר טווח המספרים בין <math>\ 999999</math> ל-<math>\ 1000001</math>. נראה שכל האיברים עד האיבר ה-<math>\ 1000000</math> נמצאים מחוץ לסביבה שבחרנו, אבל זה עדיין לא מפריע לנו, כי מדובר בסך הכל ב<math>\ 999999</math> איברים - וזהו מספר סופי, האיבר המליוןהמיליון, <math>\ a_{1000000}</math> שווה בדיוק <math>\ 1000000</math> והוא נמצא בסביבה, אך כל המספרים הבאים אחריו כבר גדולים מדי - ולא נמצאים בסביבה, וכיווןוכיון שאחרי המספר <math>\ 1000000</math> קיימים עוד אינסוף איברים בסדרה.

: קיימת סביבה של <math>\ 1000000</math> שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למליוןלמיליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש-<math>\ 1000000</math> אינו הגבול של הסדרה, כיוון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום <math>\ 1000000</math> כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).

* <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבר אי -זוגי הוא 1, וכל איבר זוגי הוא 0. כיווןכיון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על -פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>\ a_2 = a_4 = \dots = a_2na_{2n} = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2</math>, כלומר טווח המספרים שבין <math>\ frac{1/}{2}</math> ל-<math>-\ -frac{1/}{2}</math>, נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם <math>\ 1</math>.

: הסדרה לא מתכנסת לאפס - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר <math>\ L \ne 0</math> ניקח סביבה בגודל <math>\ L/2</math>, זו היא הסביבה
<math>\ \left( \frac{L/}{2} , \frac{3L/}{2 }\right) </math> ויש אינסוף איברים (כל האיברים האי -זוגיים, אלו שערכם אפס) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת לאפס, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מאפס - ולכן ניתן לומר שהסדרה <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> אינה מתכנסת.

ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסויימותמסוימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסויימתמסוימת מתכנסת, על -מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -

הגבול של סדרה, <math>\ L = \lim_{n \to \infty}a_n</math> קיים אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ Nk</math> ממשי, כך שלכל <math>\ n > N k</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורית נדרש כי לכל סביבה של <math>\ L</math> יהיו כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על ידי <math> \varepsilon</math>, ונדרש שהחל מ-<math>\ Nk</math> מסוייםמסוים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר <math>\ Nk</math> איברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיוון שההגדרה דורשת קיומו של <math>\ Nk</math> כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי <math>\ a_n</math> יהיה בסביבה <math>\ \varepsilon</math> של <math>\ L</math> זהה לדרישה כי <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>

<math>\ L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon </math>

<math>\ - \varepsilon < a_n - L < \varepsilon</math>

<math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>

* <math>\ 0,0,0,\dots</math> - זו היא סדרה שבה <math>\ a_n = 0</math> ללא תלות ב-<math>\ n</math>, כלומר סדרה שבה יש אינסוף אפסים. זה בהחלט נראה מובן מאליו שהסדרה הזו שאופת לאפס, אך אנחנו עדיין צריכים להוכיח. נוכיח שגבול הסדרה הוא <math>\ 0</math> - לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ Nk = 0</math> כך שלכל <math>\ n > Nk</math> יתקיים -

<center>
<math>\ a_n - 0 < \varepsilon</math>
</center>

: למעשה פשוט חזרנו על הגדרת הגבול, כאשר בשלב האחרון הראנוהראינו כי על -פי הגדרת הסדרה <math>\ a_n = 0</math> ועל -פי הגדרת אפסילון מתקיים <math>\ \varepsilon > 0</math> ומכאן נובע שהגדרת הגבול מתקיימת עבור <math>\ L = 0</math> - כלומר הסדרה מתכנסת ל- <math>\ 0</math>.

* <math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>

: כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת לאפס, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ Nk = \frac{1}{\varepsilon}</math> כך שלכל <math>\ n > Nk</math> יתקיים -

: כלומר - <math>\|a_n - L| = \left| a_n\frac{1}{n} - L0\right| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{k} = \varepsilon</math> ולכן הסדרה מתכנסת לאפס.

אילו:הרעיון ההגדרההחדש הייתהבהוכחה מנוסחתזו "'''קיים'''היא הצורה שבה בחרנו את <math>\ Nk</math> כך- שימו לב ש'''לכל'''-<math>k</math> תלוי ב-<math>\ \varepsilon</math> ..."(כלומר היה<math>k</math> עלינוהוא להגדיר'''פונקציה של''' <math>\ Nvarepsilon</math>, שאינוולכן תלוילעתים מסומן ב-<math>\ k_{\varepsilon}</math>}}).

סדרה <math>\ \left\{a_n \right\}</math> מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ Nk</math> כך שלכל <math>\ n_1 , n_2 > N k</math> יתקיים - <math>\ \left| a_{n_1} - a_{n_2} \right| < \varepsilon</math>

:: נתון - <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math>

:: צ"ל - לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ Nk</math> כך שלכל <math>\ n_1 , n_2 > N k</math> יתקיים - <math>\ \left| a_{n_1} - a_{n_2} \right| < \varepsilon</math>

<math>\lim_{n \to \infty} a_n = L</math> אזי לכל <math>\varepsilon' > 0</math>, ובפרט עבור <math>\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{2}</math> קיים <math> Nk</math> כך שלכל <math>\ n > Nk</math> מתקיים <math>\ \left|a_n - L\right| < \varepsilon'</math>.

אזי לכל <math>\ n_1, n_2 > Nk</math> מתקיים -