חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שיניתי את הגופן |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=גבולות}}
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>
{{הוכחה|לכל <math>
<center>
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>▼
</center>
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה <math>
:
מתקיים - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 42</math>
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>
{{הוכחה|
על
<center>
<math>\bigg||a_n| - |L|\bigg| \le |a_n - L|</math>
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז -▼
</center>
▲נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>
▲ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}}}
<center>
▲
</center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}|a_n| = |L|</math>}}}}
אם נסתכל למשל על הסדרה - <math>
:
נראה כי הגבול שלה הוא <math>
<center>
<math>|a_n - L| = \bigg|\frac{-n}{n+1} + 1\bigg| = \bigg|\frac{-n + n + 1}{n+1}\bigg| = \bigg|\frac{1}{n+1}\bigg| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon</math>
</center> לכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = -1</math>. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה <math> {{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד
{{הוכחה|
נתון כי <math>
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty} נתון גם כי <math>
וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים <math>
}}}}
הוכחה זו עלולה להראות מעט סתומה בתחילה, ולכן נתעמק במשפט ובהוכחה. המשפט טוען כי אם ידוע לנו כי סדרה
דבר נוסף שעשינו בתחילת ההוכחה היה להגיד "נניח בלי הגבלת הכלליות". משמעות הניסוח הזה היא שעומדים לפנינו שני מצבים שונים, שהדרך להוכיח אותם היא זהה לחלוטין, למעט הסימנים פלוס (<math>+</math>) או מינוס (<math>-</math>), וקטן מ (<math> < </math>) או גדול מ (<math> > </math>). בדרך כלל משפט זה יופיע בהוכחות שבהן אנחנו יודעים כי שני מספרים שונים זה מזה אך לא יודעים מי גדול יותר (ואין זה משנה את התוצאה - אלא רק את הדרך להראות אותה) או במקרים בהם צריך לטפל בנפרד במספרים חיוביים ושליליים.
ההוכחה עצמה התבססה על ההגדרה הראשונה של הגבול, ואם ננסח אותה בלשון מעט פחות מתמטית - אם הסדרה מתכנסת לגבול מסויים, ואנחנו רוצים להוכיח כי היא אינה מתכנסת למספר אחר נבחר סביבה בגודל מחצית ההפרש
{{משימה|בהוכחת המשפט הנחנו בלי הגבלת הכלליות כי <math>
{{משפט|תוכן=יהיו <math>
{{הוכחה|
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>, כלומר לכל <math>
לכל <math>
<center>
</center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}b_n = L</math>
}}}}
גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה
לדוגמא, נתונה הסדרה הבאה -{{ש}}
<math>
זו היא למעשה הסדרה <math>
{{משפט|תוכן=
אם סדרה <math>
{{הוכחה|
נתון כי הסדרה <math>
<center>
נסתכל על קבצות האיברים בסדרה המקיימים <math>\ n \le N</math> כיוון ש<math>\ N</math> הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב-<math>\ M</math> ואת האיבר הקטן ביותר ב<math>\ m</math>. ▼
</center>
▲נסתכל על
כל אברי הסדרה המקיימים <math>
כל אברי הסדרה המקיימים <math>
}}}}
הטענה שבמשפט הזה היא כל סדרה מתכנסת היא חסומה, כלומר יש לה חסם עליון וחסם תחתון (ניתן להזכר בהגדרה של [[חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות|סדרה חסומה]]), בשלב זה הן המשפט והן ההוכחה אמורים להיות אינטואיטיביים למדי מבחינתך, ובכל זאת מומלץ לעבור על ההוכחה בעיון ולוודא שאכן הכל מובן. הרעיון המרכזי של ההוכחה הזו היא הגדרת <math>
כעת אם נתבונן על סדרה שאלף איברים הראשונים הם ערכים אקראיים, והחל מהאיבר האלף ואחד כל האיברים הם 2, ונרצה לדעת האם הסדרה חסומה נוכל לומר על פי המשפט הקודם כי היא מתכנסת לאותו גבול כמו הסדרה <math>
{{שימו לב|
המשפט לא עובד בכיוון ההפוך, כלומר סדרה חסומה לא בהכרח מתכנסת, למשל הסדרה - <math>
}}
{{משפט|תוכן=
אם סדרה <math>
{{הוכחה|
נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>
בנוסף }}}}
{{משפט|תוכן=
אם הסדרה <math>
{{הוכחה|
נניח כי <math>M > 0</math> הוא חסם של <math>
יהי <math>\varepsilon > 0</math>. עבור <math>\frac{\varepsilon}{M} > 0</math> מתקיים כי קיים <math>
}}}}
{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}}
|