חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספתי תוכן
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=גבולות}}
{{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות|
תוכן=יהיו <math>\ a_n , b_n</math> שתי סדרות מתכנסות <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = A, \lim_{n \to \infty} b_n = B</math> אזי -
# לכל מספר ממשי <math>\ c \in R</math> מתקיים - <math>\ \lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = c \cdot A</math>
# <math>\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n + b_n \right) = A + B</math>
# <math>\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n - b_n \right) = A - B</math>
# <math>\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n *\cdot b_n \right) = A *\cdot B</math>
# אם <math>\ b_n \ne 0 , B \ne 0</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}</math>
 
{{הוכחה|
{{להשלים}}
 
מהגדרת הגבול
<math>\forall \varepsilon > 0, \exists N_k_{A}, N_k_{B} : \forall n > N_k_{A} \left|a_n - A \right| < \varepsilon \and \forall m > N_k_{B} \left|b_n - B \right| < \varepsilon</math>
{{ש}}
< dr/>
#אם <math>c = 0</math> אז הטענה נכונה באופן טריוויאלי. אחרת נבחר <math>\varepsilon_0 = \frac{\varepsilon}{c}</math>, אז <math>\exists Nk \forall n > Nk \left|a_n - A \right| < \varepsilon_0 \Rightarrow c\left|a_n - A \right| < \varepsilon \Rightarrow \left|c(a_n - A) \right| < \varepsilon</math>
#יהי <math>\varepsilon > 0</math>. נבחר כעת <math>f = \operatorname{max} (n, m)</math> אז על פי הגדרת הגבול <math>\forall g > f \left|a_g - A \right| < \frac{\varepsilon}{2} \and \left|b_g - B \right| < \frac{\varepsilon}{2}</math>, כלומר <math>-\frac{\varepsilon}{2} < a_g - A < \frac{\varepsilon}{2} \and -\frac{\varepsilon}{2} < b_g - B< \frac{\varepsilon}{2}</math>, כלומר <math>-\varepsilon < a_g - A + b_g - B < \varepsilon \Rightarrow \left|a_g + b_g - A - B \right| < \varepsilon</math>
#{{להשלים}}
#{{להשלים}}
שורה 22 ⟵ 23:
==כלל הסנדוויץ==
{{משפט|תוכן=
אם <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L</math> ומתקיים <math>\ a_n \ge 0</math> לכל <math>\ n</math> טבעי אזי <math>\ L \ge 0 </math>
 
{{הוכחה|
שורה 29 ⟵ 30:
 
{{משפט|תוכן=
יהיו <math>\ a_n , b_n</math> שתי סדרות מתכנסות <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = A, \lim_{n \to \infty} b_n = B</math> אם <math>\ a_n \ge b_n</math> לכל <math>\ n</math> טבעי אזי <math>\ A \ge B </math>
 
{{הוכחה|
שורה 36 ⟵ 37:
 
{{משפט|שם=כלל הסנדוויץ|תוכן=
יהיו <math>\ a_n , b_n, c_n</math> שלוש סדרות, אם <math>\ a_n \le b_n \le c_n</math> לכל <math>\ n</math> טבעי, ומתקיים <math>\ \lim_{n \to \infty} a_n = L, \lim_{n \to \infty} c_n = L, </math> אזי גם <math>\ \lim_{n \to \infty} b_n = L</math>
 
{{הוכחה|