חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f(x) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f
{| class="wikitable" border="1"
שורה 43:
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>
ונאמר "הגבול של <math>f(x)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
שורה 51:
שימו לב כי ההגדרה אומרת <math>x \ne a</math>. משמע, בחיפוש הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, אנחנו לא מתייחסים למקרה <math>x=a</math>. למעשה, <math>f(x)</math> כלל לא צריכה להיות מוגדרת בנקודה <math>a</math>. הדבר היחיד שמשנה הוא ש-<math>f</math> מוגדרת ליד <math>a</math>, כלומר בסביבה של <math>a</math>. למשל, היינו יכולים להגדיר את הפונקציה הנ"ל כך: <math>f(x) = \frac
ראוי לציין כי ההגדרה הנ"ל לגבול היא מעורפלת במקצת וכי בהמשך ניתן הגדרה מדויקת יותר לגבול.
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac
תשובה: נשים לב כי הפונקציה לא מוגדרת כאשר <math>x=0</math>, אבל כאמור, אין זה מפריע לנו. נבנה טבלת ערכים כדי לראות לאן הפונקציה שואפת כאשר <math>x</math> שואף ל-0. ערכי הפונקציה יהיו זהים עבור ערכי x אשר שווים עד כדי סימן מכיוון שגם הפונקציה במונה וגם הפונקציה במכנה הן פונקציות אי-זוגיות וסימני המינוס מבטלים זה את זה.
שורה 82:
|}
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו מנחשים כי <math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1</math>. לגבול זה תהיה חשיבות רבה בהמשך ורוב מסקנותינו לגבי הפונקציות הטריגונומטריות יתבססו עליו. בפרק הנגזרות הוא יוכח באופן מלא ונראה כי הניחוש שלנו הוא אכן נכון.
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\sin\
תשובה: גם פונקציה זו אינה מוגדרת עבור <math>x=0</math>. נעריך את ערך הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים ל-0 ונקבל:
[[תמונה:Sin1x.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה <math>\sin\
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\sin\
! <math>x</math>
|-
שורה 111:
|}
זה אולי נראה מפתה לנחש <math>\lim_{x \to 0} \sin\
בדוגמה זו ראינו כי שיטת הניחוש שלנו היא מסוכנת במקצת ובמקרים מסוימים, יכולה אף להטעות. בהמשך, נלמד להשתמש בכלים אמינים יותר לחישוב גבולות.
שורה 124:
אנחנו מעוניינים לדעת מהו הגבול שלה כאשר <math>t</math> שואף ל-0, אם קיים גבול כזה. אנחנו רואים כי כאשר <math>t</math> שואף לאפס משמאל, הפונקציה שואפת לאפס. כאשר <math>t</math> שואף לאפס מימין, הפונקציה שואפת לאחד. משמע, אין מספר ייחודי אליו הפונקציה שואפת כאשר <math>t</math> שואף לאפס. מצד אחד, היא שואפת לאפס ומצד שני, היא שואפת לאחד. איך נכתוב זאת באופן פורמלי? נכתוב כך:
<math>\lim_{t \
הסימון <math>t \
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \
ונאמר "הגבול השמאלי של <math>f
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f
</div>
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \
ונאמר "הגבול הימני של <math>f
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f
</div>
</div>
גבולות
אם נשווה את הגדרה 1 עם הגדרות 2 ו-3, נראה כי המשפט הבא הוא נכון:
<div style="text-align: center;">
'''משפט''':<math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x \
</div>
שורה 160:
==גבולות אינסופיים ואסימפטוטות אנכיות==
נסתכל על הפונקציה <math>f
[[תמונה:Inflimit.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה בסביבת <math>x=0</math>]]
שורה 167:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\frac{1
! <math>x</math>
! <math>\frac{1
! <math>x</math>
|-
שורה 205:
אנחנו רואים כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, הפונקציה עולה מצד ימין ויורדת מצד שמאל. היא לא שואפת לאף מספר שהוא, כאשר <math>x</math> שואף לאפס, לא מימין ולא משמאל, ולפיכך הגבול אינו קיים וגם הגבול הימני והשמאלי אינם קיימים. יש לנו סימון מיוחד עבור התנהגות זו של פונקציה והוא:
<math>\lim_{x \
כלומר, ערכי הפונקציה מימין ל-<math>x=0</math> גדלים יותר ויותר (עולים ללא גבול) ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס מימין וערכי הפונקציה משמאל ל-<math>x=0</math> קטנים יותר ויותר ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס משמאל. חשוב לציין כי הסימון <math>\infty</math> מציין כאן כי הפונקציה עולה עד לאינסוף (או <math>-\infty</math> בתחום השלילי). אין לפונקציה הזו גבול. אינסוף הוא אינו מספר. הסימון <math>\lim_{x \
<div style="text-align: center;">
שורה 213:
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
אזי, נכתוב <math>\lim_{x \
אם אנחנו יכולים להגדיל את ערכי <math>f
</div>
שורה 222:
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
אזי, נכתוב <math>\lim_{x \
אם אנחנו יכולים להקטין את ערכי <math>f
</div>
שורה 232:
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>x=a</math> יקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה <math>y = f
<math>\lim_{x \
<math>\lim_{x \
</div>
לדוגמא, ראינו כי לפונקציה <math>f
==גבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות==
הבה נסתכל שוב בפונקציה <math>f
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\frac{1
! <math>x</math>
! <math>\frac{1
! <math>x</math>
|-
שורה 280:
אנחנו רואים, נומרית וגרפית, כי ככל שערכי x גדלים, כך ערך הפונקציה קטן ושואף לאפס. הדבר נכון גם עבור ערכי <math>x</math> חיוביים וגם עבור ערכי <math>x</math> שליליים. נכתוב זאת מתמטית באופן הבא:
<math>\lim_{x \
כלומר, הגבול של הפונקציה באינסוף הוא אפס והגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא גם כן אפס. הפונקציה שואפת לישר <math>y=0</math> (ציר ה-<math>x</math>). במצב כזה, אנחנו נקרא לישר <math>y=0</math> אסימפטוטה אופקית.
שורה 286:
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>
<math>\lim_{x \
ונאמר "הגבול של הפונקציה באינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>
<math>\lim_{x \
ונאמר "הגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא <math>L</math>"
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f
</div>
שורה 310:
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>y=L</math> יקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה <math>y = f
<math>\lim_{x \
</div>
לפי ההגדרה הנ"ל, בפונקציה <math>f
[[תמונה:FunctionZeut.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הזהות <math>h
האם פונקציה חייבת להיות בעלת אסימפטוטות אופקיות? לא. נסתכל, למשל, על פונקצית הזהות <math>h
<math>\lim_{x \
ערכי הפונקציה גדלים ככל ש-<math>x</math> הוא חיובי וגדל והם קטנים ככל ש-<math>x</math> הוא שלילי וקטן. היא אינה שואפת לשום ישר. היא פשוט עולה לאינסוף ויורדת למינוס אינסוף. בדוגמה פשוטה זו, מסקנות אלו נראות טריוויאליות אך עבור פונקציות מסובכות יותר, קשה יותר להבחין האם הן מקיימות את התכונות הללו. מקרים אפשריים אחרים הם:
* <math>\lim_{x \
* <math>\lim_{x \
נסו למצוא פונקציות אשר מקיימות את התכונות הללו.
שורה 337:
<tr>
<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק
<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה
<td width = 30% align="center">הנושא הבא בפרק זה:
</td> </tr>
</table>
|