חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
 
שורה 3:
נסתכל על ערכי הפונקציה <math>f(x) = x^2</math> ליד <math>x=2</math>. אנו רואים מהציור כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת <math>x=2</math>:
 
[[תמונה:X^2.PNG|left|thumb|250px|ככל ש-<math>x</math> מתקרב ל-2, <math>f\left( x \right)</math> מתקרבת ל-4]]
 
{| class="wikitable" border="1"
שורה 43:
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math>
 
ונאמר "הגבול של <math>f(x)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
שורה 51:
 
 
שימו לב כי ההגדרה אומרת <math>x \ne a</math>. משמע, בחיפוש הגבול של <math>f(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, אנחנו לא מתייחסים למקרה <math>x=a</math>. למעשה, <math>f(x)</math> כלל לא צריכה להיות מוגדרת בנקודה <math>a</math>. הדבר היחיד שמשנה הוא ש-<math>f</math> מוגדרת ליד <math>a</math>, כלומר בסביבה של <math>a</math>. למשל, היינו יכולים להגדיר את הפונקציה הנ"ל כך: <math>f(x) = \frac{{x^2({x - 2})}}{{x - 2}}</math>. לכאורה, לא שינינו כלל את הפונקציה. לכאורה, עבור כל <math>x</math> שהוא, יצטמצם הגורם <math>x-2</math> מהמונה והמכנה ונקבל את אותה התוצאה אילו הפונקציה הייתה מוגדרת כמו מקודם. אבל, כעת המקרה <math>x=2</math> הוא אינו מוגדר שכן הוא מביא לערך של אפס במכנה. למרות שתחום ההגדרה של הפונקציה לא כולל כעת את <math>x=2</math>, הגבול בנקודה זו נשאר כפי שהיה קודם לכן, זאת מכיוון שאנחנו מסתכלים על ערכי הפונקציה בסביבה של 2 ואין זה מעניין אותנו מהו ערכה ב-2 או האם היא בכלל מוגדרת ב-2. ערכה ב-2 יכול להגיע מבחינתנו למיליון, אך הגבול ישאר כפי שהוא.
 
ראוי לציין כי ההגדרה הנ"ל לגבול היא מעורפלת במקצת וכי בהמשך ניתן הגדרה מדויקת יותר לגבול.
 
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\frac{{\sin(x)}}{x}</math>.
 
תשובה: נשים לב כי הפונקציה לא מוגדרת כאשר <math>x=0</math>, אבל כאמור, אין זה מפריע לנו. נבנה טבלת ערכים כדי לראות לאן הפונקציה שואפת כאשר <math>x</math> שואף ל-0. ערכי הפונקציה יהיו זהים עבור ערכי x אשר שווים עד כדי סימן מכיוון שגם הפונקציה במונה וגם הפונקציה במכנה הן פונקציות אי-זוגיות וסימני המינוס מבטלים זה את זה.
שורה 82:
|}
 
מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו מנחשים כי <math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1</math>. לגבול זה תהיה חשיבות רבה בהמשך ורוב מסקנותינו לגבי הפונקציות הטריגונומטריות יתבססו עליו. בפרק הנגזרות הוא יוכח באופן מלא ונראה כי הניחוש שלנו הוא אכן נכון.
 
'''דוגמה''': נחש את ערכו של הגבול <math>\lim_{x \to 0}\sin\leftbigg(\frac{1}{x}\rightbigg)</math>, אם קיים.
 
תשובה: גם פונקציה זו אינה מוגדרת עבור <math>x=0</math>. נעריך את ערך הפונקציה עבור ערכי <math>x</math> המתקרבים ל-0 ונקבל:
 
[[תמונה:Sin1x.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה <math>\sin\leftbigg(\frac{1}{x}\rightbigg)</math> בסביבת <math>x=0</math>]]
 
{| class="wikitable" border="1"
!
<math>\sin\leftbigg(\frac{1}{x}\rightbigg)</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 111:
|}
 
זה אולי נראה מפתה לנחש <math>\lim_{x \to 0} \sin\leftbigg(\frac{1}{x}\rightbigg) = 0</math> אבל זוהי '''טעות'''! בהסתכלות על גרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> קרוב לאפס, ערכי הפונקציה "מתנדנדים" בין 1 לבין 1- ואינם שואפים למספר כלשהו. ערך הפונקציה, למשל, עבור <math>x=0.0002</math> הוא בקירוב 0.98797-, בהחלט לא קרוב לאפס כמו ערך הפונקציה עבור <math>x=0.0001</math> או <math>x=0.01</math>. מכיוון שערכי הפונקציה אינם מתקרבים לשום ערך ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, אנחנו קובעים בזאת: הגבול <math>\lim_{x \to 0} \sin\leftbigg(\frac{1}{x}\rightbigg)</math> אינו קיים.
 
בדוגמה זו ראינו כי שיטת הניחוש שלנו היא מסוכנת במקצת ובמקרים מסוימים, יכולה אף להטעות. בהמשך, נלמד להשתמש בכלים אמינים יותר לחישוב גבולות.
שורה 124:
אנחנו מעוניינים לדעת מהו הגבול שלה כאשר <math>t</math> שואף ל-0, אם קיים גבול כזה. אנחנו רואים כי כאשר <math>t</math> שואף לאפס משמאל, הפונקציה שואפת לאפס. כאשר <math>t</math> שואף לאפס מימין, הפונקציה שואפת לאחד. משמע, אין מספר ייחודי אליו הפונקציה שואפת כאשר <math>t</math> שואף לאפס. מצד אחד, היא שואפת לאפס ומצד שני, היא שואפת לאחד. איך נכתוב זאת באופן פורמלי? נכתוב כך:
 
<math>\lim_{t \rarrto 0^{-}} H(t) = 0</math> וכן <math>\lim_{t \rarrto 0^{+}} H(t) = 1</math>
 
הסימון <math>t \rarrto 0^{-}</math> אומר כי אנחנו מתייחסים רק לערכי <math>t</math> אשר קטנים מאפס. הסימון <math>t \rarrto 0^{+}</math> כי אנחנו מתייחסים רק לערכי <math>t</math> אשר גדולים מאפס. הגבול הראשון נקרא הגבול הימני של הפונקציה בנקודה <math>t=0</math> והגבול השני נקרא הגבול השמאלי של הפונקציה בנקודה <math>t=0</math>.
 
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \rarrto a^{-}} f(x) = L</math>
 
ונאמר "הגבול השמאלי של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וקטן מ-<math>a</math>.
</div>
 
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': נכתוב <math>\lim_{x \rarrto a^{+}} f(x) = L</math>
 
ונאמר "הגבול הימני של <math>f\left( x \right)</math>, כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>, שווה ל-<math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים להביא את <math>f\left( x \right)</math> קרובה ל-<math>L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>x</math> קרוב מספיק ל-<math>a</math> וגדול מ-<math>a</math>.
</div>
</div>
 
 
גבולות ימניםימניים ושמאליים נקראים '''גבולות חד-צדדיים''' מכיווןמכיון שהם גבולות של הפונקציה מצד אחד בלבד.
 
אם נשווה את הגדרה 1 עם הגדרות 2 ו-3, נראה כי המשפט הבא הוא נכון:
 
<div style="text-align: center;">
'''משפט''':<math>\lim_{x \to a}f(x) = L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x \rarrto a^{-}} f(x)=L</math> וגם <math>\lim_{x \rarrto a^{+}} f(x) = L</math>.
</div>
 
שורה 160:
==גבולות אינסופיים ואסימפטוטות אנכיות==
 
נסתכל על הפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>. אנו מעוניינים למצוא את הגבול של הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף ל-0, כלומר את <math>\lim_{x \rarrto 0} \frac{1/}{x}</math>, אם הוא קיים.
 
[[תמונה:Inflimit.PNG|left|thumb|250px|גרף הפונקציה בסביבת <math>x=0</math>]]
שורה 167:
 
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\frac{1/}{x}</math>
! <math>x</math>
! <math>\frac{1/}{x}</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 205:
אנחנו רואים כי ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס, הפונקציה עולה מצד ימין ויורדת מצד שמאל. היא לא שואפת לאף מספר שהוא, כאשר <math>x</math> שואף לאפס, לא מימין ולא משמאל, ולפיכך הגבול אינו קיים וגם הגבול הימני והשמאלי אינם קיימים. יש לנו סימון מיוחד עבור התנהגות זו של פונקציה והוא:
 
<math>\lim_{x \rarrto 0^{+}} \frac{1/}{x} = \infty</math> וכן <math>\lim_{x \rarrto 0^{-}} \frac{1/}{x} = -\infty</math>.
 
כלומר, ערכי הפונקציה מימין ל-<math>x=0</math> גדלים יותר ויותר (עולים ללא גבול) ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס מימין וערכי הפונקציה משמאל ל-<math>x=0</math> קטנים יותר ויותר ככל ש-<math>x</math> מתקרב לאפס משמאל. חשוב לציין כי הסימון <math>\infty</math> מציין כאן כי הפונקציה עולה עד לאינסוף (או <math>-\infty</math> בתחום השלילי). אין לפונקציה הזו גבול. אינסוף הוא אינו מספר. הסימון <math>\lim_{x \rarrto 0^{+}} \frac{1/}{x} = \infty</math> הוא סמלי בלבד.
<div style="text-align: center;">
 
שורה 213:
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
 
אזי, נכתוב <math>\lim_{x \rarrto a} f(x) = \infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
 
אם אנחנו יכולים להגדיל את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
 
שורה 222:
'''הגדרה''': תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-<math>a</math>, מלבד אולי ב-<math>a</math> עצמו.
 
אזי, נכתוב <math>\lim_{x \rarrto a} f(x) = -\infty</math> ונאמר "הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> שואף ל-<math>a</math>"
 
אם אנחנו יכולים להקטין את ערכי <math>f\left( x \right)</math> ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-<math>a</math>, אבל לא שווים ל-<math>a</math>.
</div>
 
שורה 232:
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>x=a</math> יקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
 
<math>\lim_{x \rarrto a^{+}} f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x \rarrto a^{-}} f(x) = \infty</math>, <math>\lim_{x \rarrto a} f(x) = \infty</math>
 
<math>\lim_{x \rarrto a^{+}} f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x \rarrto a^{-}} f(x) = -\infty</math>, <math>\lim_{x \rarrto a} f(x) = -\infty</math>
</div>
 
 
לדוגמא, ראינו כי לפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> יש את האסימפטוטה האנכית <math>x=0</math>, מכיוון שהיא שואפת לאינסוף מימין לאפס ושואפת למינוס אינסוף משמאל לאפס. ניתן לחשוב על אסימפטוטה אנכית כעל ישר המקביל לציר ה-<math>y</math> שאליו הפונקציה שואפת להגיע. בפונקציה שראינו, האסימפטוטה האנכית הייתה ציר ה-y עצמו אך בפונקציות אחרות האסימפטוטה יכולה להיות ישר אחר אשר ניצב לציר ה-<math>y</math>. למשל, עבור הפונקציה <math>g\left( x \right) = \frac{{2}}{{x - 3}}</math> האסימפטוטה האנכית היא הישר <math>x=3</math>, גם באינסוף וגם במינוס אינסוף (נסו להוכיח זאת).
 
==גבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות==
 
הבה נסתכל שוב בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math> ובגרף שלה. אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר <math>x</math> הוא חיובי ושואף לאפס וכי היא שואפת למינוס אינסוף כאשר <math>x</math> הוא שלילי ושואף לאפס. אמרנו כי מכיוון שהפונקציה מקיימת את התכונה הזו, הישר <math>x=0</math> הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. מה לגבי ערך הפונקציה כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף או למינוס אינסוף? אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת אל ציר ה-<math>x</math>, כלומר אל הישר <math>y=0</math>. נבדוק באמצעות טבלת ערכים:
 
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\frac{1/}{x}</math>
! <math>x</math>
! <math>\frac{1/}{x}</math>
! <math>x</math>
|-
שורה 280:
אנחנו רואים, נומרית וגרפית, כי ככל שערכי x גדלים, כך ערך הפונקציה קטן ושואף לאפס. הדבר נכון גם עבור ערכי <math>x</math> חיוביים וגם עבור ערכי <math>x</math> שליליים. נכתוב זאת מתמטית באופן הבא:
 
<math>\lim_{x \rarrto \infty}\frac{1/}{x} = 0</math> וכן <math>\lim_{x \rarrto -\infty}\frac{1/}{x} = 0</math>
 
כלומר, הגבול של הפונקציה באינסוף הוא אפס והגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא גם כן אפס. הפונקציה שואפת לישר <math>y=0</math> (ציר ה-<math>x</math>). במצב כזה, אנחנו נקרא לישר <math>y=0</math> אסימפטוטה אופקית.
שורה 286:
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( {a,\infty} \right)</math>. אזי, נכתוב:
 
<math>\lim_{x \rarrto \infty}f(x) = L</math>
 
ונאמר "הגבול של הפונקציה באינסוף הוא <math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק.
 
 
'''הגדרה''': תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו <math>\left( { -\infty,a} \right)</math>. אזי, נכתוב:
 
<math>\lim_{x \rarrto -\infty}f(x) = L</math>
 
ונאמר "הגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא <math>L</math>"
 
אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה <math>f\left( x \right)</math> קרוב ככל שנרצה ל-<math>L</math> בכך שניקח ערכי <math>x</math> גדולים מספיק ושליליים.
 
</div>
שורה 310:
 
<div style="text-align: center;">
'''הגדרה''': הישר <math>y=L</math> יקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה <math>y = f\left( x \right)</math> אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:
 
<math>\lim_{x \rarrto \infty} f(x) = L</math>, <math>\lim_{x \rarrto -\infty} f(x) = L</math>
 
</div>
 
לפי ההגדרה הנ"ל, בפונקציה <math>f\left( x \right) = \frac{1}{x}</math>, הישר <math>y=0</math> מהווה אסימפטוטה אופקית.
 
[[תמונה:FunctionZeut.PNG|left|thumb|250px|פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>]]
 
האם פונקציה חייבת להיות בעלת אסימפטוטות אופקיות? לא. נסתכל, למשל, על פונקצית הזהות <math>h\left( x \right) = x</math>. מגרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר <math>x</math> שואף לאינסוף, גם הפונקציה שואפת לאינסוף. אנו גם רואים כי כאשר <math>x</math> שואף למינוס אינסוף, גם הפונקציה שואפת למינוס אינסוף. אלו הן מסקנות אינטואיטיביות ביותר שכן ערך הפונקציה בכל נקודה שווה לערכו של <math>x</math>. אנחנו מסמנים מקרים אלה באופן הבא:
 
<math>\lim_{x \rarrto \infty} h(x) = \lim_{x \rarrto \infty} x = \infty</math> וכן <math>\lim_{x \rarrto -\infty} h(x) = \lim_{x \rarrto -\infty} x = -\infty</math>
 
ערכי הפונקציה גדלים ככל ש-<math>x</math> הוא חיובי וגדל והם קטנים ככל ש-<math>x</math> הוא שלילי וקטן. היא אינה שואפת לשום ישר. היא פשוט עולה לאינסוף ויורדת למינוס אינסוף. בדוגמה פשוטה זו, מסקנות אלו נראות טריוויאליות אך עבור פונקציות מסובכות יותר, קשה יותר להבחין האם הן מקיימות את התכונות הללו. מקרים אפשריים אחרים הם:
 
* <math>\lim_{x \rarrto \infty} f(x) = -\infty</math>
* <math>\lim_{x \rarrto -\infty} f(x) = \infty</math>
 
נסו למצוא פונקציות אשר מקיימות את התכונות הללו.
שורה 337:
<tr>
 
<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/מבוא לגבולות]]</td>
<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות]]</td>
<td width = 30% align="center">הנושא הבא בפרק זה: <br> {{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ']] <BR>{{ש}}
</td>
</tr>
</table>