חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

נכתוב <math>\lim_{x \to a}f(x)=L</math>

ונאמר "הגבול של <math>\ f(x)</math>, כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math>, שווה ל-<math>\ L</math>"

אם אנחנו יכולים להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה אם ניקח <math>\ x</math> קרוב מספיק ל-<math>\ a</math> (בכל צד של <math>\ a</math>) אבל לא שווה ל-<math>\ a</math>.

מה זאת אומרת "להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה" או "<math>\ x</math> קרוב מספיק ל-<math>\ a</math>"? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> הוא <math>\ L</math>, ונכתוב <math>\lim _lim_{x \to a} f\left( x \right) = L</math>

אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

הבא ננסה להבין כיצד הגדרה זו, שנראת מסובכת בתחילה, מתאימה להגדרה הלא מדוייקת אשר ניתנה קודם לכן. <br /> {{ש}}

כאשר אמרנו "להביא את <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את <math>\ f(x)</math> למרחק 0.1 מ-<math>\ L</math>, מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון <math>\varepsilon</math>, אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right|</math> הוא המרחק של <math>\ f(x)</math> מ- <math>\ L</math> ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את <math>L</math> הצידה, נקבל:<br />{{ש}}

<math> L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon</math>

כלומר, הערכים אשר <math>\ f(x)</math> מקבלת נמצאים בין <math>L L- \varepsilon </math> לבין <math>L L+ \varepsilon </math>, וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו - <math>\ f(x)</math> קרובה ל-<math>\ L</math> עד כדי המרחק <math> \varepsilon </math>.<br />{{ש}}

מתי מתרחשת קרבה זו, ע"פ ההגדרה? כאשר <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת <math>\ a</math> הצידהLהצידה

<math>\ a - \delta < x < a + \delta</math>

כלומר עבור ערכי <math>\ x</math> שהם קרובים ל-a מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן <math>\ \delta</math>.

===עוד על בחירת <math>\varepsilon</math> ו- <math>\ \delta</math>===

מניין מגיע המספרים <math>\varepsilon</math> ו- <math>\ \delta</math> ואיך בוחרים אותו? האם כל מספר יתאים להם?<br />{{ש}}

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדוייקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> ..." <br />{{ש}}

המספר <math>\varepsilon</math> אינו נבחר על ידנוידינו, אם כן. <math>\varepsilon</math> אשר מייצג את המרחק של <math>\ f(x)</math> מהערך <math>\ L</math> יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר <math>\varepsilon</math> כללי, מספר אחר <math>\delta</math>, מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. <math>\ \delta</math> אם כן, הוא מספר אשר '''כן''' נבחר על ידנו, אבל לא כל <math>\ \delta</math> יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחוכמהבחכמה, ועל כך בדוגמא.

'''דוגמא:''' נביט בפונקציה <math>f(x) = \frac {{x}}{{x}}</math> ונתעניין בגבול <math>\lim_{x \rarrto a}f(x)</math>. <br />{{ש}}

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל <math>x \ne 0</math> נקבל כי <math>\ f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1</math> . ניתן להיות תחת הרושם '''השגוי''' כי למעשה <math>\ f(x) = 1</math> לכל <math>x</math>, אבל שימו לב מה קורה עבור <math>x = 0</math>: <math>f(0) = \frac {{0}}{{0}}</math> , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, '''אין לחלק ב-0 לעולם'''. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל <math>\ f(x) = 1</math> ולכן "מתבקש" כי <math>\lim_{x \rarrto 0}f(x) = 1</math> . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקתמדויקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו. <br />{{ש}}

יהי <math>\varepsilon_0 > 0</math> כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום <math>\delta > 0</math> מתאים) עבור כל <math>\varepsilon</math> הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי <math>\varepsilon</math> שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפוא <math>\varepsilon_0 > 0</math> שרירותי, ומוצאים עבורו <math>\delta_0</math> מתאים. אם עבור <math>\varepsilon_0</math> שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל <math>\varepsilon > 0</math> ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.{{ש}}

# האם זהו ה- <math>\ \delta</math> מתאיםהיחידי שניתן לבחור?

עבור כל <math>\ x</math> המקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|</math> , כלומר ש- <math>x \neq 0</math> ולכן <math>\ f(x) = 1</math> כפי שהוסבר קודם, ולכן

<math>\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| {1 - 1} \right|= 0 < \varepsilon_0</math>

ולכן הוכחנו את מה שדרשה ההגדרה.<br />{{ש}}

לשאלתנו השנייה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>\left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסויים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta = 32</math>. זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעיתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. עם זאת, שימו לב שאם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> מסויים הרי שגם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.

{{אתגר| נסו להבין למה אם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> אז גם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> מתאים לו.}}

הבה ניזכר בפונקציה <div align=left>
<math>h(x)=\left\{\begin{matrix}1,&\mbox{if }x>0\\-1,&\mbox{if }x<0\end{matrix}\right.</math>
</div>.<br />{{ש}}

האם לפונקציה זו קיים גבול עבור x=0 ? אנו טוענים שלא. נראה זאת:<br />{{ש}}

נניח בשלילה שקיים גבול L לפונקציה עבור x=0, כלומר מתקיים <math>\lim_{x \to 0}h(x) = L</math>. ע"פ ההגדרה: לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math>

כך שאם <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|< \delta</math> , אז מתקיים <math>\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>. <br />{{ש}}

נסמן <math>x_1 = \frac{\delta_0 \over }{2}</math> וכן <math>x_2 = -\frac{\delta_0 \over }{2}</math>, ומתקיים: <math>|x_1|< \delta_0</math> ולכן <math>|h(x_1) - L| = |1 - L| < 1 </math>, כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף <math>0 < L</math>.{{ש}}

תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>\ (a,b)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל- <math>\ a</math> מימין הוא <math>\ L^+</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to a^+}f(x) = L^+</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>\ 0 < x - a < \delta</math> , ונכתובאז מתקיים <math>|f(x) - L^+| < \varepsilon</math>.

אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה a בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד צדדים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צידיהצדיה בנקודה a, הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בניפרדבנפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך. אם לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים - הרי שהגיוני ש'''ה'''גבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:

''הוכחת צד אחד:''<br />{{ש}}

נניח ל-f קיימים גבולות חד צדדיים בנקודה a, ומתקיים <math>L \equiv L^{+} = L^{-}</math> ויהי <math>\varepsilon > 0</math> כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים <math>\ \delta^{+} , \delta^{-} > 0</math> כך ש:

*לכל x המקיים <math>\ 0 < {x - a} < \delta^{+}</math> , אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

*לכל x המקיים <math>\ 0 < {a - x} < \delta^{-}</math> , אז <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

נסמן <math>\delta_0 \equiv \min(\delta^{+},\delta^{-})</math>. כעת לכל x המקיים <math>0 < |x-a| < \delta_0</math> מתקיים בדיוק אחד משני הבאים:

*אם <math>0x > a</math>, אז <math>\left| 0 < x - a \right| < \delta_0 \le \delta^+</math>, מתקייםולכן בדיוק<math>|f(x) אחד- משניL| הבאים:< \varepsilon</math>.

*אם <math>\ x> < a</math>, אז <math>\ 0 < {xa - a}x < \delta_0 \le \delta^{+}-</math>, ולכן <math>\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.

נביט בפונקציה <math>h_1(x) = {\frac{1} \over {x^2}}</math>. ברור לנו כי בנקודה <math>\ x=0</math> עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של x? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "<math>\ h_1</math> שואפת לאינסוף ב-0".<br />{{ש}}

בצורה אנלוגית עבור <math>h_2(x) = -{\frac{1} \over {x^2}}</math> נגיד כי "<math>\ h_2</math> שואפת למינוס אינסוף ב-0". <br />{{ש}}