|
}}
===הקשר בין הגבול לגבולות החד -צדדים===
אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה a בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד צדדים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צדיה בנקודה a, הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בנפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך. אם לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים - הרי שהגיוני ש'''ה'''גבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:
{{משפט|
==הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים==
נביט בפונקציה <math>h_1(x) = \frac{1}{x^2}</math>. ברור לנו כי בנקודה <math>x=0</math> עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של x? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "<math>\ h_1</math> שואפת לאינסוף ב-0".{{ש}}
בצורה אנלוגית עבור <math>h_2(x) = -\frac{1}{x^2}</math> נגיד כי "<math>h_2</math> שואפת למינוס אינסוף ב-0".{{ש}}
שם=גבול אינסופי|
תוכן=
א. תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל- <math>\ a</math> הוא <math>\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _lim_{x \to a} f\left( x \right) = \infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math>.
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
ב. תהי <math> \ g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math> \ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math> \ g(x)</math> כאשר <math> \ x</math> שואף ל- <math> \ a</math> הוא <math>-\infty</math>, ונכתוב <math>\ lim _lim_{x \to a} g \left( x \right) = -\infty</math> אם לכל מספר <math>M < 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>0 < |x - a| < \delta</math> , אז מתקיים <math>g(x) < M</math>.▼<br /><br />
▲ב. תהי <math>\ g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב-<math>\ a</math> עצמו. נאמר כי הגבול של <math>\ g(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> הוא <math>-\infty</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to a} g\left( x \right) = -\infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M < 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math> כך שאם <math>0 < \left| {x - a} \right| < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ g(x) < M</math>.
}}
ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדוייקתמדויקת את מה שנאמר במילים פשוטות. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת a, ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה M, נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב a כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-M.<br />{{ש}}
הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה <math>\ h_1</math>:<br />{{ש}}
יהי <math>\ M_0x</math>>0 כלשהו. נסמן <math>\delta_0 \equiv \frac{1 \over }{\sqrt {M_0}}</math>. <br />{{ש}}
יהי כעת x<math>M_0 > 0</math> המקיים <math>\left| x -0 \right0| < \delta_0</math>. אז <math>h_1(x) = \frac{1}{x^2} > \frac{1}{(\delta_0)^2} \ge M_0</math>. מש"ל.
{{אתגר|הוכח עבור <math> \ h_2</math> המוגדרת מעלה כי <math>\ lim _lim_{x \to 0} h_2(x) = -\infty</math>.}} ▼<math>h_1(x) = {1 \over x^2} > {1 \over (\delta_0)^2} \ge M_0</math>. מש"ל.
▲{{אתגר|הוכח עבור <math>\ h_2</math> המוגדרת מעלה כי <math>\lim _{x \to 0} h_2(x) = -\infty</math>.}}
===גבולות חד -צדדיים באינסוף===
נביט בפונקציה <math>h_3(x) = \frac{1 \over }{x}</math>. האם לפונקציה קיים גבול עבור <math>\ x=0</math>? כאשר "מתקרבים ל-0 מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), <math>\ h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\ x</math>
! <math>\ h_3(x)</math>
|-
| 1
|}
לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל-0 משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, <math>\ h_3(x)</math> מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\ x</math>
! <math>\ h_3(x)</math>
|-
| 1-
|}
שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה x=0, ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדוייקתמדויקת:
{{הגדרה|
שם=גבול חד צדדי אינסופי|
תוכן=
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>\ (a,b)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל- <math>\ a</math> מימין הוא <math>\infty</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to a^+}f(x) = \infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math>כך שאם <math>0 < x - a < \delta</math> , ונכתובאז מתקיים <math>f(x) > M</math>.
<math>\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = \infty</math>
ב. תהי <math> \ gf</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>( -\inftyb,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math> \ gf(x)</math> כאשר <math> \ x</math> שואף ל- <math> \ -\inftya</math> משמאל הוא <math>\ Linfty</math>, ונכתוב <math>\ lim _lim_{x \to a^- \infty} gf(x) = L\infty</math> אם לכל מספר <math>M > 0</math> קיים מספר <math>\delta > 0</math> כך שאם <math>\ 0 < a - x < \delta</math> , אז מתקיים <math>f(x) > M</math>.▼אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math>
כך שאם <math>\ 0 < {x - a} < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
<br /><br />
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>\ (b,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ a</math> משמאל הוא <math>\ \infty</math>, ונכתוב
<math>\lim _{x \to a^{-}} f\left( x \right) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ \delta > 0</math>
כך שאם <math>\ 0 < {a - x} < \delta</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
}}
ועכשיו נוכיח כי <math>\lim _lim_{x \to a^{+}} h_3(x) = \infty</math>:<br />{{ש}}
יהי <math>\ M_0 > 0</math> כלשהו. נבחר <math>\ \delta_0 = \frac{1 \over }{M_0}</math>. יהי <math>\ x_0</math> כלשהו המקיים <math>\ 0 <x_0 x_0-0 < \delta_0</math> ואז קל לראות כי <math>\ h_3(x_0) = \frac{1 \over }{x_0} > \frac{1 \over }{\delta_0} = M_0</math>. מש"ל.
{{אתגר|
הגדר את הגבולות החד -צדדיים: <math>\lim _lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty</math> ו- <math>\lim _lim_{x \to a^{-}} f(x) = -\infty</math>, והוכח כי <math>\lim_{x \to a^-} h_3(x) = -\infty</math>.
והוכח כי <math>\lim _{x \to a^{-}} h_3(x) = -\infty</math>.
}}
==הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף==
נביט שוב בפונקציה <math>\ h_3(x) = \frac{1 \over }{x}</math>. הפעם נביט בערכים הולכים וגדלים של x:
{| class="wikitable" border="1"
! <math>\ x</math>
! <math>\ h_3(x)</math>
|-
| 1
שם=גבולות באינסוף|
תוכן =
א. תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,\infty)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל- <math>\ \infty</math> הוא <math>\ L</math>, ונכתוב <math>\lim _lim_{x \to \infty} f(x) = L</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>N > 0</math> כך שאם <math>N < x</math> , אז מתקיים <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math>.{{ש}}
ב. תהי <math>g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(-\infty,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>g(x)</math> כאשר <math>x</math> שואף ל- <math>-\infty</math> הוא <math>L</math>, ונכתוב <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) = L</math> אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ N >< 0</math> כך שאם <math>\ Nx < xN</math> , אז מתקיים <math>\left| {f\leftg( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.<br />
▲ב. תהי <math>\ g</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(-\infty,a)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ g(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל-<math>\ -\infty</math> הוא <math>\ L</math>, ונכתוב <math>\lim _{x \to -\infty} g(x) = L</math>
אם לכל מספר <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>\ N < 0</math> כך שאם <math>\ x < N</math> , אז מתקיים <math>\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon</math>.
}}
ננסה להבין את ההגדרה הזאת בעזרת ההגדרה לגבול ה"רגיל". מה ההבדל בין ההגדרות?<br />{{ש}}
בהגדרת הגבול הקודמת, חיפשנו ערכי x בסביבות הולכות וקטנות של a (מוגבלות ע"י <math>\ \delta</math>-ת) אשר צמצמו את ערכי הפונקציה <math>\ f(x)</math> (ערכים אלו מוגבלים ע"י <math>\ \varepsilon</math>).<br />{{ש}}
בהגדרה זאת במקום סביבה ל-a אנחנו מגדילים את ערכי x עוד ועוד (ע"י הגדלת N), וזה בתורו מצמצם את ערכי הפונקציה <math>\ f(x)</math> (ושוב ערכים אלו מוגבלים ע"י <math>\ \varepsilon</math>).
הבא נדגים על <math>\ h_3(x)</math>: <br />{{ש}}
יהי <math>\varepsilon_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>N_0 ={1 \over frac{1}{\delta_0}</math>. ויהי <math>\ x_0</math> כלשהו, המקיים <math>\ x_0 > N_0</math>. ואז <math>h_3(x_0) = \frac{1 \over }{x_0} = \frac{1 \over }{N_0} < \varepsilon</math>
==הגדרה מדוייקתמדויקת לגבולות אינסופיים באינסוף==
כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסויימתמסוימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר x גדל.
{{הגדרה|
שם=גבול אינסופי באינסוף|
תוכן =
תהי <math>\ f</math> פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה <math>(a,\infty)</math>. נאמר כי הגבול של <math>\ f(x)</math> כאשר <math>\ x</math> שואף ל- <math>\ \infty</math> הוא <math>\ \infty</math>, ונכתוב <math>\lim _lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</math>
אם לכל מספר <math>\ M > 0</math> קיים מספר <math>\ N > 0</math> כך שאם <math>\ N < x</math> , אז מתקיים <math>\ f(x) > M</math>.
}}
לדוגמא, נביט ב- <math>\ h_4(x) = x</math>. נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.<br />{{ש}}
יהי <math>\ M_0 > 0</math> כלשהו. נגדיר עבורו <math>\ N_0 = M_0</math>. ויהי כעת x המקיים <math>\ x > N_0</math>. אז מתקיים: <math>\ h_4(x) = x > N_0 = M_0</math>. מש"ל.
{{אתגר|
הגדר את הגבולות: <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty , <math>\lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty , \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty</math>
הגדר את הגבולות:
}}
<math>\lim _{x \to -\infty} f(x) = \infty</math>,
<math>\lim _{x \to \infty} f(x) = -\infty</math>,
<math>\lim _{x \to -\infty} f(x) = -\infty</math> }}
==הגדרת הגבול לפי סדרות==
שם=גבול לפי היינה|
תוכן =
נגיד ש- <math>\lim_{x\to x_0} f(x) = L</math> אם לכל סדרה <math>\left \{ x_n \right \} _{n=1}^\infty</math> כך ש- <math> \forall n \in \mathbb{N}: x_n \neq x_0</math> ו- <math> \lim_{n\to \infty} x_n = x_0</math> מתקיים: <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L</math>
}}
כלומר, ע"י בחירת סדרה של נקודות שמתקרבת יותר ויותר ל- <math>x_0</math>, הפונקציה תתקרב יותר ויותר ל- <math>L</math>
<tr>
<td width = 30% align = "center">הנושא הקודם בפרק<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ']]</td>
<td width = 40% align="center">בחזרה לעמוד הפתיחה<br>{{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות]]</td>
<td width = 30% align="center">הנושא הבא בפרק זה: <br> {{ש}}[[חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות]] <BR>{{ש}}</td>
</tr>
</table>
| 