|
==מהו טור?==
כולנו מכירים מהבי"ס היסודי את הפעולה האריתמטית של חיבור שני מספרים. באופן טבעי, הכללנו את הפעולה הזו לחיבור של מספר סופי מסויים של מספרים ממשיים ובשלב זה של חיינו, כולנו מסוגלים לבצע חישובים מורכבים כמו 1+3+7+1 או 1+2-5+12.67+7 (שימו לב שחיסור הוא בעצם חיבור של מספר שלילי). אבל מה אם יש בידינו מספר אינסופי של מחוברים וברצוננו לדעת מה סכומם? במקרה זה עלינו לפנות לכלים שלמדנו מתורת הגבולות של סדרות כדי לתת משמעות לביטוי "סכום אינסופי".
==הגדרה של טור של סדרה==
בהינתן==הגדרת טור של סדרה==
בהינתן סדרה <math> \left( {a_n\right)}_n^\infty</math> נגדיר את הסדרה <math>\{S_n\}_n^\infty </math> על-ידי
נגדיר את הסדרה
<math> \left( S_n\right)_n^\infty S_1=a_1</math>
על ידי
<math> S_{n+1}=S_n+a_{n+1} </math> ▼<br/>
<math> S_1=a_1 </math>
;
▲<math> S_{n+1}=S_n+a_{n+1} </math>
<br/>
או בצורת כתיבה אחרת:
<br />
<math> S_n=a_1+a_2+\dots+a_n </math>
<br/>
כלומר, הסדרה <math> \left( {S_n\right)}_n^\infty </math> "צוברת" את איברי הסדרה <math> \left( {a_n\right)}_n^\infty </math>.
<br/>
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרת הסכומים החלקיים|
תוכן=
בהינתן סדרה <math> \left( {a_n\right)}_n^\infty </math> הסדרה <math> \left( {S_n\right)}_n^\infty </math> המתאימה לה לפי ההגדרה לעיל נקראת '''סדרת הסכומים החלקיים של <math> \left( {a_n\right)}_n^\infty </math>'''}}
{{הגדרה|מספר=2|שם=טור של סדרה|
תוכן=הטור של הסדרה <math> \left( {a_n\right)}_n^\infty </math> היא סדרת הסכומים החלקיים כפי שהוגדרה לעיל והוא יסומן ב- <math>\sum a_n</math>}}
ב<math> \sum a_n </math>}}
את הטור המתאים לסדרה <math> \ left( {a_n\ right)}_{n=1}^\infty </math> נהוג לסמן ב - <math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>. ▼
יש לציין גם שאין שום ייחוד דווקא במספר 1, וייתכן שיהיו טורים שהאינדקס הראשון שלהם הוא כל מספר טבעי אחר, כך לדוגמה, גם הטור: <math>\sum_{n=119}^\infty a_n</math> הוא טור כשר לכל הדעות.▼
▲את הטור המתאים לסדרה <math> \left( a_n\right)_{n=1}^\infty </math> נהוג לסמן ב<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>.
<br/>
▲יש לציין גם שאין שום ייחוד דווקא במספר 1, וייתכן שיהיו טורים שהאינדקס הראשון שלהם הוא כל מספר טבעי אחר, כך לדוגמה, גם הטור:
<math> \sum_{n=119}^\infty a_n </math>
הוא טור כשר לכל הדעות.
<br/>
לאחר דיוננו בהגדרת הטור ובסימונו, נביא את ההגדרה המרכזית של פרק זה:
{{הגדרה|מספר=2|שם=גבול של טור|
תוכן= הטור
<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>
יקרא מתכנס אםם הסדרה <math> \left( {S_n\right)}_{n=1}^\infty </math> כפי שהוגדרה לעיל, היא סדרה המתכנסת למספר ממשי, גבולה יקרא "הגבול של הטור" או "ערכו של הטור" ויסומן ב<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>. וכן, אם הסדרה מתבדרת, נאמר שהטור מתבדר.
<br/>
באופן אנאלוגי לסדרות, טור יקרא מתכנס במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף אםם
<math> \left( {S_n\right)}_n^\infty </math> מתכנסת במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף, בהתאמה.}}
{{שימו לב|הסימון <math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math> משמש גם לסימון הסדרה <math> \left( {S_n\right)}_{n=1}^\infty </math> וגם לסימון הגבול של הטור, אין להתבלבל בין השניים ויש לקחת בחשבון שהרישום של הסדרה בצורה הנ"ל לא מבטיח בהכרח את קיומו של גבול הטור.}}
=== דוגמאות ===
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=|
תוכן=נסתכל על הטור הבא <math> \sum_{n=1}^\infty n</math> נרצה לדעת האם טור זה הוא טור מתכנס, נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים:
<br/>
<math> S_n=1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} </math>
<br/>
ידוע לנו מהפרקים הקודמים שהסדרה <math> \left( {S_n\right)}_n^\infty </math> היא סדרה מתבדרת ולכן גם הטור מתבדר}}
עכשיו, אחרי שאנחנו יודעים מהו גבול של טור, ניתן ללמוד על אופי סדרה הנדסית יורדת (הערך המוחלט שלה בכל אופן).
כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרה נמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר: <math>-1 < q < 1</math>. מספר דוגמאות:
<math>-1< \ q <1</math>.מספר דוגמות:
<math> \ 27, 9, 3, 1 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 27</math> והמנה היא <math>\frac{1}{3}</math>.
<math> \frac{1}{3}</math>.
<math> \ 1, -0.5, 0.25, -0.125 \dots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math> \ 1</math> והמנה היא <math> \ - 0.5</math>.
ניתן לראות בקלות כי איברי הסידרההסדרה שואפים ל-0 ככל ש- <math>\ n</math> גדל. דבר זה גורם לכך שלסכום הסדרה ההנדסית נוצר גבול כלשהו אותו לא יוכל לעבור, סכוםמספר אשר אליו הסכום ישאף, ויתקרב. ניתן לראות בקלות כי <math>n</math> גדול יותר, אך עם זאת, לא יגיע אליו ככללעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחה לסכום סדרה הנדסית שכזו, פשוט מאוד "נציב" אינסוף במקום <math>n</math> בנוסחה שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר <math>|q| < 1</math>,{{כ}} <math>q^n</math> ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאיבר האינסוף הוא בעצם יגיע ל-0. אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו שנציבמהנוסחה שקיבלנו:
ניתן לראות בקלות, כי <math>\ n</math> גדול יותר, אך אם זאת, לא יגיע אליו לעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחה לסכום של סדרה הנדסית שכזו, פשוט מאוד "נציב" אינסוף במקום <math>\ n</math> בנוסחה שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר <math>\ |q| < 1</math>, <math> \ q^n</math> ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאיבר האינסוף הוא בעצן יגיע ל-0.אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו מהנוסחה שקיבלנו:
<math>\ S=a_1\frac{-1a_1}{q-1}</math>, נפשט על -ידי הוצאת המינוס והחלפת המיקום במכנה, ונקבל את סכומה של הסידרההסדרה ההנדסית שבה ערכה המוחלט של מנת הסדרה הוא שבר האינסופית:
* <math>\ S= \frac{a_1}{1-q}</math>.
| 