חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
==הגדרה==
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x \to x_0}
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math>.{{ש}}
נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math>. נראה כי <math>\lim_{x \to 2}
==מיון נקודות אי
תהי פונקציה שלא רציפה ב-<math>x_0</math>. נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג <math>0</math>) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x \to x_0} f(x)</math> אך הוא שונה מ-<math>f(x_0)</math>. דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.
*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x \to x_0^+} f(x_0) , \lim_{x\to x_0^-} f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמה לכך היא פונקציית הסימן, <math>sign(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}</math>. הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיוון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא 1- אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0^+}
*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר.
==רציפות במידה שווה==
עפ"י הגדרת הרציפות, <math>f(x)</math> נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים <math>\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x(|x-x_0|<\delta \
כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה של <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה הזאת, <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ- <math>f(x_0)</math> עד כדי המרחק הנתון.
אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>I</math> אם לכל מרחק נתון, אני יכול למצוא אורך סביבה מספיק קטן שיתאים לכל <math>x_0</math> בקטע כך שהגדרת גבול הרציפות תתקיים. בעצם זה אומר שלכל שתי נקודות שאקח עם מרחק קטן מאותו אורך סביבה מספיק קטן, המרחק בין הערכים שלהם על הפונקציה יהיה קטן מהמרחק ההתחלתי הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר).זאת אומרת: <math>\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2 \in I(|x_1-x_2|<\delta\rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon)</math>{{ש}}
רציפות במ"ש היא לא תכונה מאוד שימושית, אך היא עוזרת להוכיח שכל פונקציה רציפה בקטע סגור
===קריטריונים לרציפות במ"ש===
*תנאי הכרחי אך לא מספיק - פונקציה רציפה במ"ש הנה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש){{ש}}
*סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש. נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמה: <math>f(x)=x</math> רציף במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> אך <math>x\cdot x=x^2</math> לא.
*פונקציה היא '''לא''' רציפה במ"ש בקטע <math>I</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>
*תנאי הכרחי אך לא מספיק - פונקציה רציפה במ"ש בקטע '''סופי''' חסומה שם.
*משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם.
שורה 31:
*אם <math>f</math> רציפה במ"ש על הקטעים <math>(a,b],[b,c)</math> (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד <math>(a,c)</math>.
*תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math>, כך שהגבול
::<math>\lim_{x \
קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math>.
שורה 39:
:שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:
::<math>f(x+p)=f(x)</math>
::לדוגמה: הפונקציה <math>f(x)=\sin(x)</math> מחזורית כיוון שמתקיים לכל x ש- <math>\sin(x+2\pi)=\sin(x)</math> (אז p במקרה הזה הוא <math>2\pi</math>). סינוס זה פונקציה רציפה בנוסף להיותה מחזורית ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\mathbb{R}</math> (על כל הישר הממשי)
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||