חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

נשים לב שב- <math>f(2)</math> הכוונה היא לערכו של המשתנה התלוי כאשר הערך של x הוא 2. אז, אנו רואים שהמספר 8 הוא התוצר של הפונקציה כשאנו מכניסים את המספר 2. אנחנו קוראים לערך שאנו מכניסים ה'''ארגומנט''' של הפונקציה (או '''המשתנה הבלתי-תלוי'''), ולתוצר אנו קוראים ה'''ערך''' של הפונקציה (או '''המשתנה התלוי'''). אז אנו יכולים להגיד ש"הערך של <math>f(2)</math> הוא 8", או "<math>f</math> של 2 שווה ל-8".

לדוגמא, אם הפונקציה הנתונה היא <math>f(x) = \frac{1}{x-2}</math>, התחום הוא כל המספרים הממשיים מלבד המספר 2, מכיוון ש- <math>f(2)</math> לא קיימת (חלוקה ב-0 אינה מוגדרת).

כאשר מתייחסים לפונקציה מסויימתמסוימת <math>f</math>, אנו בדרך-כלל מעוניינים לדעת מהו המשתנה הבלתי-תלוי שלה ''x''. לכן, כשאנו מתכוונים לפונקציה <math>f</math>, בדרך-כלל לא נכתוב <math>f</math>, אלא <math>f(x)</math>. הפונקציה שאליה אנו מתייחסים עתה היא "<math>f</math> של ''x''". כך, המשתנה הבלתי-תלוי עכשיו מוסף למשתנה התלוי - רוצה לומר, הכוונה עתה היא שאנו מעוניינים לדעת מהם שני המשתנים. כתיב זה שימושי כאשר ברצוננו לדעת את ערכה של הפונקציה בהנתן משתנה מסוים. לדומאלדוגמא, אם הפונקציה היא:

|<div align=left><math>f(x)=x\,</math></div>

|<div align=left><math>g(x)=3\,</math></div>

|<div align=left><math>f(x)=x+1\,</math></div>

|<div align=left><math>g(y)=y^2\,</math></div>

<math>f(x)=3x+2\,</math>

.<math>g(x)=x^2\,</math>

,<math>f+g=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x+2)+(x^2)=x^2+3x+2\,</math>

,<math>f-g=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(3x+2)-(x^2)=-x^2+3x+2\,</math>

,<math>f \times g=(f \times g)(x)=f(x)\times g(x)=(3x+2)\times(x^2)=3x^3+2x^2</math>

בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה קיימת בהקשר של משתנים שאינם פונקציות. ערכה של פונקציה <math>f</math> תלוי בערכו של המשתנה <math> x</math>; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לתוצר של פונקציה אחרת <math>g</math> שפעלה בתורה על משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז התוצר של המשתנה השלישי על-ידי הפעולה המשולבת של <math>f</math> ו- <math>g</math> הוא פונקציה <math>h</math> של המשתנה השלישי; פונקציה זו <math>(h)</math> נקראת ה'''הרכבה''' של שתי הפונקציות האחרות <math>(f, g)</math>. ההרכבה מסומנת על-ידי

.<math>f \circ g=(f \circ g)(x)=f(g(x))</math>

<math>f(x)=3x+2\,</math>

.<math>g(x)=x^2\,</math>

.<math>h(x)=f(g(x))=f(x^2)=3(x^2)+2=3x^2+2\,</math>

כאן, <math>h</math> היא ההרכבה של <math>f</math> ו- <math>g</math>. נשים לב כי ההרכבה אינה חילופית (קומוטטיבית):

,<math>f(g(x))=3x^2+2\,</math>

,<math>g(f(x))=g(3x + 2)=(3x + 2)^2=9x^2+12x+4\,</math>

:<math>f(g(x))\ne g(f(x))\,</math>.

,<math>\operatornamembox{plus}(x,y)=x+y</math>

.<math>\operatornamembox{times}(x,y)=x\times y</math>

<math>2\times 3+4=\operatornamembox{times}(2,3)+4=\operatornamembox{plus}( \operatornamembox{times}(2,3), 4)</math>

ומכיווןומכיון שהפונקציה ''times'' שווה ל-6 אם <math>y=3</math> ו-<math>x=2</math> אז

:<math>\operatornamembox{plus}(\operatornamembox{times}(2,3),4)= \operatornamembox{plus}(6,4)</math>.

ומכיוון שהפונקציה ''plus'' שווה ל-10 אם <math>y=4</math> ו- <math>x=6</math> אז

:<math>(2\times 3)+4=\operatornamembox{plus}(\operatornamembox{times}(2,3),4)=\operatornamembox{plus}(6,4)=10</math>.

הסימון בו משתמשים להגדרת המרווחים הוא מאוד פשוט, אך לעיתיםלעתים לא ברור בגלל הדמיון לסימון הזוג הסדור.

|כל הערכים הגדולים או שווים ל-<math>a</math> והערכים הקטנים או שווים ל- <math>b</math>

|<math>\left[a,b\right]</math>

|<math>\left\{x:a \le x \le b\right\}</math>

|כל הערכים הגדולים מ-<math>a</math> וקטנים מ- <math>b</math>

|<math>\left(a,b\right)</math>

|<math>\left\{x:a < x < b\right\}</math>

|כל הערכים הגדולים או שווים ל-<math>a</math> וקטנים מ- <math>b</math>

|<math>\left[a,b\right)</math>

|<math>\left\{x:a \le x < b\right\}</math>

|כל הערכים הגדולים מ-<math>a</math> וקטנים או שווים ל- <math>b</math>

|<math>\left(a,b\right]</math>

|<math>\left\{x:a < x \le b\right\}</math>

|כל הערכים הגדולים או שווים ל- <math>a</math>.

|<math>\left[a,\infty\right)</math>

|<math>\left\{x:x \ge a\right\}</math>

|כל הערכים הגדולים מ- <math>a</math>.

|<math>\left(a,\infty\right)</math>

|<math>\left\{x:x > a\right\}</math>

|כל הערכים הקטנים או השווים ל- <math>a</math>.

|<math>\left(-\infty,a\right]</math>

|<math>\left\{x:x \le a\right\}</math>

|<math>\left(-\infty,a\right)</math>

|<math>\left\{x:x < a\right\}</math>

|<math>\left(-\infty,\infty\right)</math>

|<math>\left\{x: x \in \mathbb{R}\right\}</math>

אז <math>f(x)</math> מוגדרת רק עבור ה-''x''-ים הנמצאים בין 1 ל-1-, מכיווןמכיון שפונקציית השורש הריבועי אינה מוגדרת (במספרים ממשיים) עבור ערכים שליליים. לכן, התחום, בסימון מרווחים, הוא <math>\left[-1,1\right]</math>. במילים אחרות:

:<math>f(x) \mbox{is defined for } x \in [-1,1], \operatornamembox{ or } \{x:-1\le x\le 1\}</math>.

אז <math>f(x)</math> יכולה להיות שווה אך ורק לערכים הנמצאים באינטרוול מ-<math>0</math> ל- <math>1</math>. לכן, הטווח של <math>f</math> הוא <math>\left[0,1\right]</math>.

לפונקציה <math>f(x)</math> יש פונקציה הפכית ''אם ורק אם'' <math>f(x)</math> היא חד-חד-ערכית. עבור <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> כך ש- <math>g(x)</math> היא ההפכית של <math>f(x)</math> מתקיים:

הפונקציה ההפכית של <math>f(x)</math> מסומנת כ- <math>f^{-1}(x)</math>.

בהנתן ש-b אינו 0, הגרף של <math>f</math> הוא קו ישר, העובר דרך הנקודות <math>(0,0)</math>, <math>\left(\frac{b}{a},1\right)</math> ו- <math>(b,a)</math>. לכן, אחרי שרטוט שלושת הנקודות הללו, ניתן להשתמש בסרגל בכדי לשרטט את הקו ארוך ככל שנרצה.

<math>=\left([[(x+2)\times (x+3)]\times \left(\frac{1}{x+3}\right)\right)]=</math>{{ש}}

<math>=([(x+2)\times (1))]\,=</math>{{ש}}